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  • 2021-06-17 发布

2020年高中数学第三章导数及其应用3

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‎3.2 导数的计算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.下列结论正确的是(  )‎ A.若y=cos x,则y′=sin x B.若y=sin x,则y′=-cos x C.若y=,则y′=- D.若y=,则y′= 解析:A项,y=cos x,则y′=-sin x;‎ 答案:C ‎2.函数y=x3·ax的导数是(  )‎ A.(3+xln a)x2ax B.(3+ln a) x3ax C.(3+ln a)xax D.(3+ln a)ax 解析:∵y=x3·ax,‎ ‎∴y′=(x3·ax)′=(x3)′ax+x3(ax)′‎ ‎=3x2ax+x3·axln a ‎=(3+xln a)x2ax.选A.‎ 答案:A ‎3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=(  )‎ A.-1 B.-‎2 C.2 D.0‎ 解析:由f(x)=ax4+bx2+c得f′(x)=4ax3+2bx,又f′(1)=2,所以‎4a+2b=2,即f′(-1)=-‎4a-2b=-(‎4a+2b)=-2.‎ 答案:B ‎4.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为(  )‎ A.-2 B.‎2 C. D.1‎ 解析:由题知y′1=,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3x 4‎ ‎0-2x0+2,所以=3,所以x0=1.‎ 答案:D ‎5.若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),且f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(1)=(  )‎ A.24 B.-24‎ C.10 D.-10‎ 解析:∵f′(x)=(x-1)′(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′‎ ‎=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′‎ ‎∴f′(1)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24.‎ 答案:A ‎6.曲线y=在点Q(16,8)处的切线的斜率是________.‎ ‎7.设f(x)=ax2-bsin x,且f ′(0)=1,f ′=,则a=________, b=________.‎ 解析:∵f ′(x)=2ax-bcos x,‎ f ′(0)=-b=1得b=-1,‎ f ′=πa+=,得a=0.‎ 答案:0 -1‎ ‎8.(2015·高考陕西卷)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.‎ 解析:y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),‎ y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),由题意知k1k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1).‎ 答案:(1,1)‎ ‎9.求导.‎ y=(x+1)2(x-1).‎ 解析:法一 y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.‎ 法二 y=(x2+2x+1)(x-1)‎ 4‎ ‎=x3+x2-x-1,‎ y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.‎ ‎10.设f (x)=a·ex+blnx,且f′(1)=e,f′(-1)=,求a,b的值.‎ 解析:由f(x)=a·ex+bln x,‎ ‎∴f′(x)=a·ex+,‎ 根据题意应有 解得所以a,b的值分别是1,0.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.函数f(x)=excos x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(  )‎ A.0 B. C.1 D. 解析:f′(x)=excos x-exsin x,‎ ‎∴f′(0)=e0(cos 0-sin 0)=1,‎ ‎∴切线的倾斜角为.‎ 答案:B ‎2.若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4)‎ 解析:y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),‎ 由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,则a=2,‎ 当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,‎ 故所求的切点坐标是(1,1).‎ 答案:A ‎3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x则f′(e)=________.‎ 解析:∵f(x)=2xf′(e)+ln x,‎ ‎∴f′(x)=‎2f′(e)+,‎ 令x=e,得f′(e)=‎2f′(e)+,∴f′(e)=-.‎ 答案:- ‎4.(2016·高考天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f 4‎ ‎′(0)的值为________.‎ 解析:由题意得f′(x)=(2x+3)ex,则得f′(0)=3.‎ 答案:3‎ ‎5.求曲线y=在点(2,)处的切线方程.‎ 解析:∵y=,‎ ‎∴y′= ‎=.‎ ‎∴y′|x=2==-.‎ 因此曲线y=在点(2,)处的切线方程为 y-=-(x-2),‎ 即6x+25y-32=0.‎ ‎6.求满足下列条件的函数f(x):‎ ‎(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;‎ ‎(2)f′(x)是一次函数,x‎2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.‎ 解析:(1)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c.‎ 由f(0)=3,得d=3.由f′(0)=0,得c=0.由f′(1)=-3,f′(2)=0可建立方程组解得 所以f(x)=x3-3x2+3.‎ ‎(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数,‎ 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.‎ 把f(x)、f′(x)代入方程得 x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,‎ 即(a-b)x2+(b-‎2c)x+c-1=0.‎ 要使对任意x方程都成立,则需a=b,b=‎2c,c=1,‎ 解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.‎ 4‎