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- 2021-06-17 发布
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3.2 导数的计算
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.下列结论正确的是( )
A.若y=cos x,则y′=sin x
B.若y=sin x,则y′=-cos x
C.若y=,则y′=-
D.若y=,则y′=
解析:A项,y=cos x,则y′=-sin x;
答案:C
2.函数y=x3·ax的导数是( )
A.(3+xln a)x2ax B.(3+ln a) x3ax
C.(3+ln a)xax D.(3+ln a)ax
解析:∵y=x3·ax,
∴y′=(x3·ax)′=(x3)′ax+x3(ax)′
=3x2ax+x3·axln a
=(3+xln a)x2ax.选A.
答案:A
3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=( )
A.-1 B.-2 C.2 D.0
解析:由f(x)=ax4+bx2+c得f′(x)=4ax3+2bx,又f′(1)=2,所以4a+2b=2,即f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.
答案:B
4.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为( )
A.-2 B.2 C. D.1
解析:由题知y′1=,y′2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为,3x
4
0-2x0+2,所以=3,所以x0=1.
答案:D
5.若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),且f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(1)=( )
A.24 B.-24
C.10 D.-10
解析:∵f′(x)=(x-1)′(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′
=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+(x-1)[(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′
∴f′(1)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24.
答案:A
6.曲线y=在点Q(16,8)处的切线的斜率是________.
7.设f(x)=ax2-bsin x,且f ′(0)=1,f ′=,则a=________, b=________.
解析:∵f ′(x)=2ax-bcos x,
f ′(0)=-b=1得b=-1,
f ′=πa+=,得a=0.
答案:0 -1
8.(2015·高考陕西卷)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析:y′=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),
y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),由题意知k1k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
9.求导.
y=(x+1)2(x-1).
解析:法一 y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.
法二 y=(x2+2x+1)(x-1)
4
=x3+x2-x-1,
y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.
10.设f (x)=a·ex+blnx,且f′(1)=e,f′(-1)=,求a,b的值.
解析:由f(x)=a·ex+bln x,
∴f′(x)=a·ex+,
根据题意应有
解得所以a,b的值分别是1,0.
[B组 能力提升]
1.函数f(x)=excos x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.0 B. C.1 D.
解析:f′(x)=excos x-exsin x,
∴f′(0)=e0(cos 0-sin 0)=1,
∴切线的倾斜角为.
答案:B
2.若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )
A.(1,1) B.(2,3) C.(3,1) D.(1,4)
解析:y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),
由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,则a=2,
当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,
故所求的切点坐标是(1,1).
答案:A
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x则f′(e)=________.
解析:∵f(x)=2xf′(e)+ln x,
∴f′(x)=2f′(e)+,
令x=e,得f′(e)=2f′(e)+,∴f′(e)=-.
答案:-
4.(2016·高考天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f
4
′(0)的值为________.
解析:由题意得f′(x)=(2x+3)ex,则得f′(0)=3.
答案:3
5.求曲线y=在点(2,)处的切线方程.
解析:∵y=,
∴y′=
=.
∴y′|x=2==-.
因此曲线y=在点(2,)处的切线方程为
y-=-(x-2),
即6x+25y-32=0.
6.求满足下列条件的函数f(x):
(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;
(2)f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.
解析:(1)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c.
由f(0)=3,得d=3.由f′(0)=0,得c=0.由f′(1)=-3,f′(2)=0可建立方程组解得
所以f(x)=x3-3x2+3.
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数,
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.
把f(x)、f′(x)代入方程得
x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=1,
即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使对任意x方程都成立,则需a=b,b=2c,c=1,
解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.
4
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