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- 2021-06-17 发布
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高难拉分攻坚特训(五)
1.已知函数f(x)=sin2x的图象与直线2kx-2y-kπ=0(k>0)恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大分别为x1,x2,x3,则(x1-x3)tan(x2-2x3)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 B
解析 记直线2kx-2y-kπ=0为l,则l必过点.又l与f(x)的图象均关于点对称,所以由题意可知,x1+x3=2x2=π,且l是曲线y=f(x)的一条切线,(x3,f(x3))是其中一个切点.因为f(x)=sin2x,所以f′(x)=2cos2x,所以切线l的斜率k=2cos2x3=,即=1,所以(x1-x3)tan(x2-2x3)=(π-2x3)tan==-1.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),若λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意n∈N*都成立,则实数λ的最小值为________.
答案
解析 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),
所以Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1,
故an+1-an=2n(n≥2),
因为a2-a1=21,所以an+1-an=2n(n≥1),
所以an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,…,a2-a1=21,
则an-a1=21+22+…+2n-1,
故an=1+21+…+2n-1==2n-1,
所以Sn=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,
所以Sn-an=2n-n-1,
因为λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意n∈N*都成立,
所以λ≥max.
设cn=,则cn+1-cn=-=,
当n≤4时,cn+1>cn,当n≥5时,cn+14=|BC|,
∴M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,其方程为+=1.
(2)①当l的斜率存在时.设E(x1,y1),F(x2,y2),
l的方程为y=kx+m.
由得,(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴
可得|EF|=|x1-x2|
=,
∵l与圆O相切,∴3m2=8(1+k2),
从而|EF|=·,
令2k2+1=t,得k2=(t≥1),
∴|EF|=·
=·≤×=2.
当且仅当t=2,即k=±时取等号.
∴(S△OEF)max=×2× =2.
②当l的斜率不存在时.易得l的方程为x=或x=-.
此时|EF|=,
∴S△OEF=×× =<2.
由①②可得,S△OEF的最大值为2.
4.已知函数f(x)=ln x++x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,f(x)>+x-1在(1,+∞)上恒成立,求k的取值范围.
解 (1)由题可知f′(x)=-+1=(x>0),
①当a≤0时,此时f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a>0时,令f′(x)>0,解得x>;令f′(x)<0,解得00恒成立.
令g(x)=(k-1)ln x+x-(x>1),
则g′(x)=+1+=.
令h(x)=x2+(k-1)x+1,
①当k≥-1时,此时h(x)的对称轴:x=-=≤1,
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.
又∵h(1)=k+1≥0,∴h(x)≥0在(1,+∞)上恒成立.
∴g′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即g(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴g(x)>g(1)=0.
∴k≥-1符合要求.
②当k<-1时,此时h(1)=k+1<0,
∴h(x)=0在(1,+∞)上有一根,设为x0,
当x∈(1,x0)时,h(x)<0,即g′(x)<0.
∴g(x)在(1,x0)上单调递减.
∴g(x)0在(1,+∞)上恒成立矛盾.
综合①②可得,k的取值范围为[-1,+∞).
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