全国高中数学联赛一试题（二） 4页

全国高中数学联赛一试题（二）‎ 一、选择题 ‎1、 双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定 ‎（A）相交 （B）相切 ‎ ‎（C）相离 （D）以上情况均有可能 ‎2、 对一切实数x，所有的二次函数（a＜b）的值均为非负实数．则的最大值是 ‎（A） （B） （C）3 （D）2‎ ‎3、 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 ‎（A）216个 （B）252个 （C）324个 （D）432个 ‎4、 用Sn与an分别表示区间内不含数字9的n位小数的和与个数．则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5、 如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么， ‎ ‎①AA1⊥MN；‎ ‎②A1C1∥MN；‎ ‎③MN∥平面A1B1C1D1；‎ ‎④MN与A1C1异面．‎ 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ A B C D M N A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ ‎6、 已知集合，．若 ，则a的所有取值是 ‎（A）－1，1 （B）－1，‎ ‎（C）±1，2 （D）±1，－4，‎ 二、填空题 ‎7、集合A、B、C（不必两两相异）的并集A∪B∪C＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 ．‎ ‎8、在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是 ．‎ ‎9、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为 ．‎ ‎10、若△ABC是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是 ．‎ ‎11、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l的斜率为 ．‎ ‎12、已知复数，．若△ABC的3个内角∠A、∠B、∠C依次成等差数列，且，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 ‎13、‎ 求最大的正数l，使得对任意实数a、b，均有 ‎≤．‎ ‎14、对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md．‎ ‎15、 设p＞0，当p变化时，Cp：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp．求证：所有的点Bp在同一条直线上．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎2、 A ‎3、 D ‎4、 D ‎5、 B ‎6、 D 二、填空题 ‎7、 7n．‎ ‎8、 ‎ ‎9、. ‎ ‎10、‎ ‎11、 ‎ ‎12、 ‎ 三、解答题 ‎13、 ‎ ‎14、略 ‎15、略