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2014·四川卷(文科数学)
1.[2014·四川卷] 已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=( )
A.{-1,0}B.{0,1}
C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}
1.D [解析]由题意可知,集合A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选D.
2.、[2014·四川卷] 在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体
B.个体
C.样本的容量
D.从总体中抽取的一个样本
2.A [解析]根据抽样统计的概念可知,统计分析的对象全体叫做“总体”.故选A.
3.[2014·四川卷] 为了得到函数y=sin(x+1)的图像,只需把函数y=sinx的图像上所有的点( )
A.向左平行移动1个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动π个单位长度
D.向右平行移动π个单位长度
3.A [解析]由函数y=sinx的图像变换得到函数y=sin(x+1)的图像,应该将函数y=sinx图像上所有的点向左平行移动1个单位长度,故选A.
图11
4.[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示,则该三棱锥的体积是(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)( )
A.3B.2C.D.1
4.D [解析]由图可知,三棱锥的底面为边长为2的正三角形,左侧面垂直于底面,且为边长为2的正三角形,所以该三棱锥的底面积S=×2×,高h=,所以其体积V=Sh=××=1,故选D.
5.[2014·四川卷] 若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.>B.<
C.>D.<
5.B [解析]因为c<d<0,所以<<0,即->->0,与a>b>0对应相乘得,->->0,
所以<,故选B.
6.、[2014·四川卷] 执行如图12的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S
的最大值为( )
图12
A.0B.1C.2D.3
6.C [解析]题中程序输出的是在的条件下S=2x+y的最大值与1中较大的数.结合图像可得,当x=1,y=0时,S=2x+y取最大值2,2>1,故选C.
7.、[2014·四川卷] 已知b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )
A.d=acB.a=cd
C.c=adD.d=a+c
7.B [解析]因为5d=10,所以d=log510,所以cd=lgb·log510=log5b=a,故选B.
8.、[2014·四川卷] 如图13所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC等于( )
图13
A.240(-1)mB.180(-1)m
C.120(-1)mD.30(+1)m
8.C [解析]由题意可知,AC==120.
∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,所以sin∠ABC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=.
在△ABC中,由正弦定理得=,
于是BC===120(-1)(m).故选C.
9.、[2014·四川卷] 设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )
A.[,2] B.[,2]
C.[,4] D.[2,4]
9.B [解析]由题意可知,定点A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,
则其交点P(x,y)落在以AB为直径的圆周上,
所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,即|PA|+|PB|≥|AB|=.
又|PA|+|PB|==
≤
=2,
所以|PA|+|PB|∈[,2],故选B.
10.[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2B.3C.D.
10.B [解析]由题意可知,F.设A(y,y1),B(y,y2),∴·=y1y2+yy=2,
解得y1y2=1或y1y2=-2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=-2.
当y≠y时,AB所在直线方程为y-y1=(x-y)=(x-y),
令y=0,得x=-y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).
于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=(9|y1|+8|y2|)≥×2=3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=-2时,等号成立.当y=y时,取y1=,y2=-,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得S△ABO+S△AFO=2××2×+××=.而>3,故选B.
11.[2014·四川卷] 双曲线-y2=1的离心率等于________.
11. [解析]由已知及双曲线的概念知,a=2,b=1,故c==,
故该双曲线的离心率e==.
12.、[2014·四川卷] 复数=________.
12.-2i [解析]==-2i.
13.[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.
13.1 [解析]由题意可知,f=ff=-4+2=1.
14.、[2014·四川卷] 平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.
14.2 [解析]c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知=,即=,即5m+8=,解得m=2.
15.、、[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:
①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;
②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;
③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∈/B;
④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)
15.①③④ [解析]若f(x)∈A,则函数f(x)的值域为R,于是,对任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正确.
取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在M=1,使得函数f(x)的值域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时函数f(x)没有最大值和最小值,故②错误.
当f(x)∈A时,由①可知,对任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,当g(x)∈B时,对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个b0∈R,一定存在一个a0∈D,使得f(x)+f(a0)=b0-g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0∉[-M,M],故③正确.
对于f(x)=aln(x+2)+(x>-2),当a>0或a<0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,只有a=0,此时f(x)=(x>-2).易知f(x)∈,所以存在正数M=,使得f(x)∈[-M,M],故④正确
16.、[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
16.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为:
(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,
所以P(A)==.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,
则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P(B)=1-=.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
17.、、、[2014·四川卷] 已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
17.解:(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,得sin=cos(cos2α-sin2α).
所以sinαcos+cosαsin=
(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α在第二象限内,得α=+2kπ,k∈Z.
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,得cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
18.、[2014·四川卷] 在如图14所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.
(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1.
(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.
图14
18.解:(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.
因为AB,AC为平面ABC内的两条相交直线,
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.
又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内的两条相交直线,
所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.
图14
由已知,O为AC1的中点.
连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD綊AC,OE綊AC,
因此MD綊OE.
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC.
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.
19.、、[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N*).
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{anb}的前n项和Sn.
19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0,
当n≥1时,=2an+1-an=2d.
故数列{bn}是首项为2a1,公比为2d的等比数列.
(2)函数f(x)=2x在点(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2),
其在x轴上的截距为a2-.
由题意知,a2-=2-,
解得a2=2,
所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anb=n·4n.
于是,Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n,
4Sn=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n×4n+1,
因此,Sn-4Sn=4+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=,
所以,Sn=.
20.、[2014·四川卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
20.解:(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.
又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以
解得m=±1.
此时,四边形OPTQ的面积
S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|=
2=2.
21.、[2014·四川卷] 已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.
21.解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,所以g′(x)=ex-2a.
当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].
当a≤时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当a≥时,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;
当<a<时,令g′(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1),
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,
于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;
当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.
(2)证明:设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知,
f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.
故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.
由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点;
当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.
所以<a<.
此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.
因此x1∈(0,ln(2a)),x2∈(ln(2a),1),必有
g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.
由f(1)=0有a+b=e-1<2,有
g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0.
解得e-2<a<1.
所以,函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.
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