- 142.10 KB
- 2021-06-17 发布
- 1、本文档由用户上传，淘文库整理发布，可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方，所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议，请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传，本站不保证质量和数量令人满意，可能有诸多瑕疵，付费之前，请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ：403074932
【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ， ）
1. 已知复数z，“z+z¯=0”是“z为纯虚数”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也不必要条件
2. 不等式x+5(x-1)2≥2的解集是( )
A.[-3,12] B.[-12，3]
C.[12，1)∪(1,3] D.[-12，1)∪(1,3]
3. 已知角α的终边过点(3, -4)，则sin(α+π4)=( )
A.-1010 B.-7210 C.7210 D.-210
4. 设f (x)为可导函数，且满足limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，则曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率是（ ）
A.2 B.-1 C.12 D.-2
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ）
5. 若实数ω>0，若函数f(x)＝cos(ωx)+sin(ωx)的最小正周期为π，则ω＝________．
6. 设全集U={x|x<5，x∈N*}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U(A∪B)=________.
7. 已知复数z满足(3+i)z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是________．
8. 若函数f(x)=x12，则f(x)的反函数f-1(x)的定义域是________．
9. 若线性方程组的增广矩阵为23c101c2解为x=3y=5 ，则c1-c2＝________．
10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1,BC=2,BB1=3, ∠ABC=90∘，点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为________.
11. 如图所示，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是________．
12. 若a=log23，则2a+2-a=________.
13. 已知x，y满足约束条件x-y+4≥0，x≤2，x+y+k≥0，且z=x+3y的最小值为2，则常数k=________．
14. 五名三中学生中午打篮球，将校服放在篮球架旁边，打完球回教室时由于时间太紧，只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有________种．（具体数字作答）
15. 已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18，则(ax+b)6展开式所有项系数之和为________．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
16. 已知双曲线C过点23,-1，且与双曲线x212-y26=1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为________．
17. 已知平面向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，且{|a→|, |b→|, |c→|}={1, 2, 3}，则|a→+b→+c→|的最大值是________．
18. 已知函数f(x)=sin(2x+φ) （其中φ是实数），若f(x)≤|f(π12)|对x∈R恒成立，且f(π2)>f(0)，则f(x)的单调递减区间是________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 15 分 ，共计75分 ， ）
19. 在空间四边形ABCD中，已知AD=1,BC=3，且AD⊥BC，对角线BD=132,AC=32，求AC和BD所成的角．
20. 已知函数 f(x)=lnx-ax2-(2-a)x.
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)记函数g(x)=lnxx+ax2+(1-a)x+a-1，当a≤2-1e时，证明：对任意的 x∈(0,+∞)，都有f(x)+g(x)<0.
21. 已知函数f(x)=x+ax，(a>0)有如下性质：该函数在(0,a]上是减函数，在(a，+∞)上是增函数．
（1）若a=4，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值与最小值；
（2）若x∈[1, 3]时，不等式f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
22. 已知椭圆C：x216+y24=1 ，直线l:y=12x+t(t>0)与椭圆C交于A,B两点( AB→为从左向右方向)，使△OAB的面积最大，O为坐标原点.
(1)求直线l的方程及A，B的坐标；
(2)若椭圆上的两点D，E(不与顶点重合，且A，B，D，E构成顺时针方向或逆时针方向）满足DE//AB，点E关于x轴的对称点是点F，求证： BF//AD.
23. 已知{an}是由正数组成的数列，其前n项和Sn与an之间满足an+12=2Sn+14(n∈N*)．
(1)求{an}的通项an；
(2)设bn=(12)nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
参考答案与试题解析
【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）4【附详细答案和解析_可编辑】
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）
1.【答案】
B
【解答】
解：对于复数z，若z+z¯=0，z不一定为纯虚数，反之，若z为纯虚数，则z+z¯=0．
∴ “z+z¯=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．
故选：B．
2.【答案】
D
【解答】
解：由不等式x+5(x-1)2≥2得x+5(x-1)2-2≥0，
变形得-2x2+5x+3(x-1)2≥0，
即(x+12)(x-3)≤0,x-1≠0，
解得 [-12，1)∪(1,3].
故选D.
3.【答案】
D
【解答】
解：∵ 角α的终边经过点(3, -4)，则sinα=-45，cosα=35，
∴ sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4
=-45×22+35×22
=-210.
故选D．
4.【答案】
D
【解答】
解：∵ limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，
∴ 12limx→0f(1)-f(1-x)x=-1
∴ limx→0f(1)-f(1-x)x=-2
∴ f'(1)=-2
即曲线y=f (x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率是-2，
故选D．
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ）
5.【答案】
2
【解答】
实数ω>0，若函数f(x)＝cos(ωx)+sin(ωx)sin(ωx)的最小正周期为π，
∴ π，∴ ω＝2，
6.【答案】
{3}
【解答】
解：A∪B={1，2，4}，
∁U(A∪B)={3}.
故答案为：{3}.
7.【答案】
1-3i
【解答】
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
解：∵ (3+i)z=10i，
∴ (3-i)(3+i)z=10i(3-i)，
∴ 10z=10(3i+1)，
化为z=1+3i，
则复数z的共轭复数是1-3i.
故答案为：1-3i.
8.【答案】
[0, +∞)
【解答】
解：∵ 函数f(x)=x12≥0，则f(x)的反函数f-1(x)的定义域是[0, +∞)．
故答案为：[0, +∞)．
9.【答案】
16
【解答】
解：由题意知x=3y=5 ，是方程组2x+3y=c1y=c2 的解，
即c1=6+15=21，c2=5，
则c1-c2=21-5=16，
故答案为：16.
10.【答案】
13
【解答】
解：三棱柱ABC-A1B1C1展开矩形ACC1A1，如图，
连接AC1交BB1于D，此时AD+DC1最小，
∵ AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90∘，
点D为侧棱BB1上的动点，
∴ 当AD+DC1最小时，BD=1，
此时三棱锥D-ABC1的体积：
VD-ABC1=VC1-ABD
=13×S△ABD×B1C1
=13×12×AB×BD×B1C1
=13×12×1×1×2
=13.
故答案为：13.
11.【答案】
【解答】
此题暂无解答
12.【答案】
103
【解答】
解：∵ a=log23，
∴ 2a+2-a=2log23+2-log23
=3+13=103.
故答案为：103.
13.【答案】
-2
【解答】
解：作出不等式组x-y+4≥0，x≤2，x+y+k≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z=x+3y得y=-13x+z3，结合图形知当直线y=-13x+z3过点A时，z最小，解x=2，x+y+k=0，得得A(2,-2-k)，此时zmin=2+3(-2-k)=2，解得k=-2．
故答案为：-2．
14.【答案】
20
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①、先从五名学生中任取2人，作为拿对自己衣服的同学，有C52=10种情况；
②、剩余的3人，都没有拿对自己衣服，
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
假设这3人为A、B、C，则A有2种取法，B、C只有一种取法，
则剩余3人都没有拿对自己衣服的情况有2种；
故5人中只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有10×2=20种；
故答案为：20．
15.【答案】
64
【解答】
(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与-18，
∴ ∁64⋅a4⋅b2＝135①，
∁65⋅a5⋅b＝-18②；
由①、②组成方程组15a4b2=1356a5b=-18 ，
解得a＝1，b＝-3或a＝-1、b＝3；
∴ 令x＝1，求得(ax+b)6展开式中所有项系数之和为26＝64．
16.【答案】
x210-y25=1
【解答】
解：与x212-y26=1有共同渐近线方程可设为：x212-y26=λ(λ≠0)，
代入(23,-1)，
解得λ=56，
∴ 双曲线方程为x210-y25=1．
故答案为：x210-y25=1．
17.【答案】
3+5
【解答】
解：分别以a→，b→所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，
①当{|a→|, |b→|}={1, 2}，|c→|=3，则a→+b→=(1,2)，
设c→=(x,y)，则x2+y2=9，
∴ a→+b→+c→=(1+x, 2+y)，
∴ |a→+b→+c→|=(x+1)2+(y+2)2的最大值，
其几何意义是圆x2+y2=9上点(x, y)与定点(-1, -2)的距离的最大值为
3+(0+2)2+(0+1)2=3+5；
②当{|a→|, |b→|}={1, 3}，|c→|=2，
则a→+b→=(1,3)，
设c→=(x, y)，则x2+y2=4，
∴ a→+b→+c→=(1+x, 3+y)，
∴ |a→+b→+c→|=(x+1)2+(y+3)2的最大值，
其几何意义是圆x2+y2=4上点(x, y)与定点(-1, -3)的距离的最大值为
2+(0+1)2+(0+3)2=2+10，
③当{|a→|, |b→|}={2, 3}，|c→|=1，则a→+b→=(2,3)，
设c→=(x,y)，则x2+y2=1，
∴ a→+b→+c→=(2+x, 3+y)，
∴ |a→+b→+c→|=(x+2)2+(y+3)2的最大值，其几何意义是圆x2+y2=1
上点(x, y)与定点(-2, -3)的距离的最大值为1+(0+2)2+(0+3)2=1+13，
∵ 1+13<3+5，2+10<3+5，
故|a→+b→+c→|的最大值为3+5．
故答案为：3+5.
18.【答案】
[kπ-5π12, kπ+π12]，k∈Z
【解答】
由题意，f(x)≤|f(π12)|对x∈R恒成立，可得x=π12时函数f(x)的对称轴．
即π6+φ=π2+kπ，可得φ=kπ+π3．k∈Z
令k=1，可得φ=4π3，那么f(π2)=sin(π+4π3)=sinπ3>f(0)=sin(4π3)，
故得f(x)的其中一个解析式为：f(x)=sin(2x+4π3)．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
令π2+2kπ≤2x+4π3≤3π2+2kπ，
得：kπ-5π12≤x≤kπ+π12，
∴ f(x)的单调递减区间是[kπ-5π12, kπ+π12]，k∈Z，
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 15 分 ，共计75分 ）
19.【答案】
90∘
【解答】
AB、CD、AD的中点E、G、F，连接EF、FG、GE，则∠EFG或其补角为异面直线BD、AC所成的角，且EF=12BD=134,FG=12AC=34，再取AC的中点H，则EH//BC，HG//AD，
∵ AD⊥BC，∴ EH⊥HG，
∴ EG2=EH2+HG2=1.
在△EFG中，EG2=EF2+FG2=1，
∴ ∠EFG=90∘，∴ AC与BD所成的角为90∘.
20.【答案】
解：(1)由题设知，f'(x)=1x-2ax-(2-a)
=-2ax2+(2-a)x-1x(x>0)，
当a≥0时，f'(x)=-(2x-1)(ax+1)x,
由于x>0 ，所以当 x∈(0,12) 时，f'(x)>0,f(x)单调递增；
当x∈(12,+∞)，f'(x)<0,f(x)单调递减.
当a<0 时,f'(x)=-2a(x-12)(x+1a)x，
①当12>-1a，即a<-2时，由于 x>0 ,
可知当x∈(-1a,12)时f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈(0,-1a) 或x∈(12,+∞) 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增．
②当a=-2时，f'(x)=4(x-12)2x≥0,x∈(0,+∞)，f(x)单调递增；
③当12<-1a，即-20，
可知当x∈(12,-1a) 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈(0,12)或 x∈(-1a,+∞)，f'(x)>0，f(x)单调递增．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
(2)设F(x)=f(x)+g(x) ，由题设
F(x)=lnx-ax2-(2-a)x+lnxx+ax2+(1-a)x+a-1
=lnx-x+lnxx+a-1,
当a≤2-1e时，要证F(x)<0 在(0,+∞)上恒成立，
可只需证lnx-x<-lnxx-a+1在(0,+∞)上恒成立，
令h(x)=lnx-x,φ(x)=-lnxx-a+1,
因为h'(x)=1x-1 ,易得h(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
故h(x)≤h(1)=-1，
由φ(x)=-lnxx-a+1得φ'(x)=-1-lnxx2=lnx-1x2(x>0)，
当0e时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在(0,e)上递减，在(e,+∞)上递增，
所以φ(x)≥φ(e)=-1e+1-a
又a≤2-1e,∴ -1e+1-a≥-1，
即h(x)max≤φ(x)min,但等号不可取，
所以lnx-x<-lnxx-a+1在(0,+∞)上恒成立，
故当a≤2-1e 时，对任意的x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)<0恒成立.
【解答】
解：(1)由题设知，f'(x)=1x-2ax-(2-a)
=-2ax2+(2-a)x-1x(x>0)，
当a≥0时，f'(x)=-(2x-1)(ax+1)x,
由于x>0 ，所以当 x∈(0,12) 时，f'(x)>0,f(x)单调递增；
当x∈(12,+∞)，f'(x)<0,f(x)单调递减.
当a<0 时,f'(x)=-2a(x-12)(x+1a)x，
①当12>-1a，即a<-2时，由于 x>0 ,
可知当x∈(-1a,12)时f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈(0,-1a) 或x∈(12,+∞) 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增．
②当a=-2时，f'(x)=4(x-12)2x≥0,x∈(0,+∞)，f(x)单调递增；
③当12<-1a，即-20，
可知当x∈(12,-1a) 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；
当x∈(0,12)或 x∈(-1a,+∞)，f'(x)>0，f(x)单调递增．
(2)设F(x)=f(x)+g(x) ，由题设
F(x)=lnx-ax2-(2-a)x+lnxx+ax2+(1-a)x+a-1
=lnx-x+lnxx+a-1,
当a≤2-1e时，要证F(x)<0 在(0,+∞)上恒成立，
可只需证lnx-x<-lnxx-a+1在(0,+∞)上恒成立，
令h(x)=lnx-x,φ(x)=-lnxx-a+1,
因为h'(x)=1x-1 ,易得h(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，
故h(x)≤h(1)=-1，
由φ(x)=-lnxx-a+1得φ'(x)=-1-lnxx2=lnx-1x2(x>0)，
当0e时，φ'(x)>0，
所以φ(x)在(0,e)上递减，在(e,+∞)上递增，
所以φ(x)≥φ(e)=-1e+1-a
又a≤2-1e,∴ -1e+1-a≥-1，
即h(x)max≤φ(x)min,但等号不可取，
所以lnx-x<-lnxx-a+1在(0,+∞)上恒成立，
故当a≤2-1e 时，对任意的x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)<0恒成立.
21.【答案】
解：（1）a=4时，f(x)=x+4x，
则f(x)在[1, 2]上单调递减，在[2, 3]上单调递增，
fmin(x)=f(2)=4，
fmax(x)=max {f(1), f(3)}=133；
（2）①若00，
x1+x2=-2t，x1x2=2t2-8，
|AB|=1+14|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=5232-4t2，
点O到l的距离d=t52=2t5，
∴ S△OAB=12d⋅|AB|
=t5⋅5232-4t2
=t8-t2，
S△OAB2=t2(8-t2)
=-t4+8t2
=-(t2-4)2+16≤16，
∴ S△OABmax=4
此时t2=4，即t=2，
∴ l:y=12x+2，x1+x2=-4，x1x2=0，
∴ x1=-4，x2=0，A(-4,0)，B(0,2).
(2)证明：∵ DE//AB，
∴ 设直线DE为l2:y=12x+m，D(x3,y3)，E(x4,y4)，
∴ F(x4,-y4)，
kAD=y3x3+4，kBF=-y4-2x4.
证BF//AD，即证kAD=kBF，
即y3x3+4=-y4-2x4，
即y3x4=-(y4+2)(x3+4)，
即x3x4+m(x3+x4)+2(x3+x4)+8+4m=0.①
x216+y24=1y=12x+m⇔2x2+4mx+4m2-16=0，
Δ>0.
代入①式得2m2-8+m(-2m)+2(-2m)+8+4m=0.
∴ 原式得证即BF//AD.
【解答】
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
(1)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
x216+y24=1,y=12x+t,⇔2x2+4tx+4t2-16=0.
Δ>0，
x1+x2=-2t，x1x2=2t2-8，
|AB|=1+14|x1-x2|
=52(x1+x2)2-4x1x2
=5232-4t2，
点O到l的距离d=t52=2t5，
∴ S△OAB=12d⋅|AB|
=t5⋅5232-4t2
=t8-t2，
S△OAB2=t2(8-t2)
=-t4+8t2
=-(t2-4)2+16≤16，
∴ S△OABmax=4
此时t2=4，即t=2，
∴ l:y=12x+2，x1+x2=-4，x1x2=0，
∴ x1=-4，x2=0，A(-4,0)，B(0,2).
(2)证明：∵ DE//AB，
∴ 设直线DE为l2:y=12x+m，D(x3,y3)，E(x4,y4)，
∴ F(x4,-y4)，
kAD=y3x3+4，kBF=-y4-2x4.
证BF//AD，即证kAD=kBF，
即y3x3+4=-y4-2x4，
即y3x4=-(y4+2)(x3+4)，
即x3x4+m(x3+x4)+2(x3+x4)+8+4m=0.①
x216+y24=1y=12x+m⇔2x2+4mx+4m2-16=0，
Δ>0.
代入①式得2m2-8+m(-2m)+2(-2m)+8+4m=0.
∴ 原式得证即BF//AD.
23.【答案】
解：(1)∵ an+12=2Sn+14(且n∈N*)，
两边平方化为Sn=12(an2+an)．
∴ a1=12(a12+a1)，
∵ a1>0，解得a1=1．
当n≥2时，Sn-1=12(an-12+an-1)，
∴ an=Sn-Sn-1=12(an2+an)-12(an-12+an-1)，
化为(an+an-1)(an-an-1-1)=0，
∵ an+an-1>0，∴ an-an-1=1，
∴ 数列{an}为公差是1的等差数列，
∴ an=1+(n-1)×1=n．
(2)bn=(12)n⋅an=n2n，
∴ 数列{bn}的前n项和Tn=12+222+323+...+n2n，
∴ 12Tn=122+223+...+n-12n+n2n+1，
∴ 12Tn=Tn-12Tn=12+122+123+...+12n-n2n+1，
∴ Tn=1+12+122+...+12n-1-n2n
=1-12n1-12-n2n
=2-2+n2n
=2n+1-n-22n．
【解答】
解：(1)∵ an+12=2Sn+14(且n∈N*)，
两边平方化为Sn=12(an2+an)．
∴ a1=12(a12+a1)，
∵ a1>0，解得a1=1．
当n≥2时，Sn-1=12(an-12+an-1)，
∴ an=Sn-Sn-1=12(an2+an)-12(an-12+an-1)，
化为(an+an-1)(an-an-1-1)=0，
∵ an+an-1>0，∴ an-an-1=1，
∴ 数列{an}为公差是1的等差数列，
∴ an=1+(n-1)×1=n．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
(2)bn=(12)n⋅an=n2n，
∴ 数列{bn}的前n项和Tn=12+222+323+...+n2n，
∴ 12Tn=122+223+...+n-12n+n2n+1，
∴ 12Tn=Tn-12Tn=12+122+123+...+12n-n2n+1，
∴ Tn=1+12+122+...+12n-1-n2n
=1-12n1-12-n2n
=2-2+n2n
=2n+1-n-22n．
第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页
相关文档
- 专题5-2 平面向量基本定理及坐标表2021-06-1710页
- 2020届高考数学（理）二轮复习综合检测2021-06-1717页
- 2020届高考数学大二轮复习层级二专2021-06-1715页
- 专题03+复数（第02期）-2018年高考数学2021-06-174页
- 数学理·吉林省吉林市2017届高考数2021-06-1728页
- 考点04 函数的概念（定义域、值域、2021-06-1716页
- 专题2-12 函数模型及其应用（测）-20182021-06-1711页
- 专题09+对数与对数函数（押题专练）-202021-06-175页
- 高考数学专题复习教案： 数量积的性2021-06-172页
- 专题42+空间中的垂直关系（押题专练）-2021-06-177页
微信/支付宝扫码支付下载