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- 2021-06-17 发布
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2009年海南省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合A＝{1, 3, 5, 7, 9}，B＝{0, 3, 6, 9, 12}，则A∩B＝（ ）
A.{3, 5} B.{3, 6} C.{3, 7} D.{3, 9}
2. 复数3+2i2-3i=( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
3. 对变量x，y有观测数据(xi, yi)(i=1, 2,…,10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui, vi)(i=1, 2,…,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
4. 有四个关于三角函数的命题：
P1:∃x∈R，sin2x2+cos2x2=12；
P2:∃x、y∈R，sin(x-y)=sinx-siny；
P3:∀x∈[0, π]，1-cos2x2=sinx；
P4:sinx=cosy⇒x+y=π2．
其中假命题的是（ ）
A.P1，P4 B.P2，P4 C.P1，P3 D.P2，P3
5. 已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
6. 设x，y满足2x+y≥4x-y≥-1x-2y≤2 ，则z＝x+y( )
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
7. 已知向量a→=(-3, 2)，b→=(-1, 0)，若λa→+b→与a→-2b→垂直，则实数λ的值为（ ）
A.-17 B.17 C.-16 D.16
8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知an-1+an+1-an2=0，S2n-1=38，则n=( )
A.38 B.20 C.10 D.9
9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，EF // B1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了(1)、(2)两部分后，这两部分几何体的形状是( )
A.(1)是棱柱，(2)是棱台 B.(1)是棱台，(2)是棱柱
C.(1)(2)都是棱柱 D.(1)(2)都是棱台
10. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=2，则 Rr的值为（ ）
A.2 B.3 C.2 D.3
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11. 如果执行如图的程序框图，输入x=-2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（ ）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12. 用min{a, b, c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x, x+2, 10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 曲线y=xex+2x+1在点(0, 1)处的切线方程为________．
14. 已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P(2, 2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
15. 等比数列{an}的公比q>0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=________．
16. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示，则f(7π12)=________．
三、解答题（共7小题，第22-24题，属选做题，满分70分）
17. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，求∠DEF的余弦值．
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18. 如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90∘．
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC的体积．
19. 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．
表1：
生产能力分组
[100, 110]
[110, 120]
[120, 130]
[130, 140]
[140, 150]
人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组
[110, 120]
[120, 130]
[130, 140]
[140, 150]
人数
6
y
36
18
(I)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
(II)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
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20. 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OP|OM|=e，e为椭圆C的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21. 已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3．
(1)设a=1，求函数f(x)的极值；
(2)若a>14，且当x∈[1, 4a]时，|f'(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
22. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90∘，切点分别为D，E，F，则∠EDF=________度．
23. 已知曲线C1:x=-4+costy=3+sint（t为参数），C2:x=8cosθy=3sinθ（θ为参数）．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t=π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1:x=3+2ty=-2+t（t为参数）距离的最小值．
24. 如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
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参考答案与试题解析
2009年海南省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.C
3.C
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.C
10.C
11.B
12.B
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.y=3x+1
14.y2=4x
15.152
16.0
三、解答题（共7小题，第22-24题，属选做题，满分70分）
17.1665
18.解：（1）证明：因为△PAB是等边三角形，
∠PAC=∠PBC=90∘，
PC=PC
所以Rt△PBC≅Rt△PAC，
可得AC=BC．
如图，取AB中点D，连接
PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
（2）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE．
因为Rt△PBC≅Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE．
由已知，平面PAC⊥平面PBC，
故∠AEB=90∘．
因为Rt△AEB≅Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC=4，得AE=BE=2，
△AEB的面积S=2．
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P-ABC的体积
V=13×S×PC=83．
19.解：（1）甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w．w.p=110×110=1100．
(2)(I)由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．
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故4+8+x+5=25，得x=5，6+y+36+18=75，得y=5．
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
(II)xA¯=425×105+825×115+525×125+525×135+325×145=123，
xB¯=675×115+1575×125+3675×135+1875×145=133.8
x¯=25100×123+75100×133.8=133.1
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1．
20.解：（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，
则这个顶点不会是短轴的端点，而是长轴的端点，
则有a+c=7，a-c=1；
解可得a=4，c=3；
则b=7；
故椭圆的方程为x216+y27=1；
（2）设M(x, y)，P(x, y1)，
椭圆的方程为x216+y27=1中，e=ca=34；
又由椭圆方程为x216+y27=1，且P在椭圆上，即y12=7(16-x2)16①；
根据题意得x2+y12x2+y2=e2=916②；
①②联立化简可得，y2=1129；
即y=±473，(-4≤x≤4)
其轨迹是两条平行于x轴的线段．
21.解：(1)当a=1时，对函数f(x)求导数，得f'(x)=3x2-6x-9．
令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=3．
列表讨论f(x)，f'(x)的变化情况：
x
(-∞, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↑
极大值6
↓
极小值-26
↑
所以，f(x)的极大值是f(-1)=6，极小值是f(3)=-26．
(2)f'(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．
若141，则∵ |f'(4a)|=15a2>12a．
故当x∈[1, 4a]时|f'(x)|≤12a不恒成立．
所以使|f'(x)|≤12a(x∈[1, 4a])恒成立的a的取值范围是(14，45]．
22.45
23.解：(1)把曲线C1:x=-4+costy=3+sint（t为参数）化为普通方程得：(x+4)2+(y-3)2=1，
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所以此曲线表示的曲线为圆心(-4, 3)，半径1的圆；
把C2:x=8cosθy=3sinθ（θ为参数）化为普通方程得：x264+y29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆.
(2)把t=π2代入到曲线C1的参数方程得：P(-4, 4)，
把直线C3:x=3+2ty=-2+t（t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(-2+4cosθ, 2+32sinθ)
所以M到直线的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|5=|5sin(α-θ)-13|5，（其中sinα=45，cosα=35）
从而当cosθ=45，sinθ=-35时，d取得最小值855．
24.解：（1）由题设，CO=x，CA=|10-x|，CB=|20-x|，
故y=4×|10-x|+6×|20-x|，x∈[0, 30]
即y=160-10xx∈[0,10]80-2xx∈(10,20]10x-160x∈(20,30]
（2）令y≤70，
当x∈[0, 10]时，由160-10x≤70得x≥9，故x∈[9, 10]
当x∈(10, 20]时，由80-2x≤70得x≥5，故x∈(10, 20]
当x∈(20, 30]时，由10x-160≤70得x≤23，故x∈(20, 23]
综上知，x∈[9, 23]
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