高考卷 山东省高考数学试卷（理科） 59页

2017 年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）设函数 y= 的定义域为 A，函数 y=ln（1﹣x）的定义域为 B，则 A∩B=（ ） A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 2．（5 分）已知 a ∈ R，i 是虚数单位，若 z=a+ i，z• =4，则 a=（ ） A．1 或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D． 3．（5 分）已知命题 p： ∀ x＞0，ln（x+1）＞0；命题 q：若 a＞b，则 a2＞b2，下 列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值是（ ） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5 分）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米） 的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之 间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 值为 7，第二次输 入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（ ） A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5 分）若 a＞b＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B． ＜log2（a+b）＜a+ C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜ 8．（5 分）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次 抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A． B． C． D． 9．（5 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角 形，且满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5 分）已知当 x ∈ [0，1]时，函数 y=（mx﹣1）2 的图象与 y= +m 的图象 有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11．（5 分）已知（1+3x）n 的展开式中含有 x2 的系数是 54，则 n= ． 12．（5 分）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的 夹角为 60°，则实数λ的值是 ． 13．（5 分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为 ． 14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支 与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则 该双曲线的渐近线方程为 ． 15．（5 分）若函数 exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在 f（x）的定义域 上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的函数 的序号为 ． ①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）设函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中 0＜ω＜3，已 知 f（ ）=0． （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在[﹣ ， ]上的最小值． 17．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是 的中点． （Ⅰ）设 P 是 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； （Ⅱ）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 18．（12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的 影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗 示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女 志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种 心理暗示． （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率． （Ⅱ）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX． 19．（12 分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1 （xn+1，n+1）得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1 所围成的 区域的面积 Tn． 20．（13 分）已知函数 f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中 e ≈2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令 h（x）=g （x）﹣a f（x）（a ∈ R），讨论 h（x）的单调性并判断有无极 值，有极值时求出极值． 21．（14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞b＞0）的离心 率为 ，焦距为 2． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，动直线 l：y=k1x﹣ 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， 直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2= ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2： 3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率． 2017 年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5 分）（2017•山东）设函数 y= 的定义域为 A，函数 y=ln（1﹣x）的定 义域为 B，则 A∩B=（ ） A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 【考点】1E：交集及其运算；33：函数的定义域及其求法．菁优网版 权所有 【专题】37 ：集合思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5J ：集合． 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得 A 和 B，即可求得 A∩ B． 【解答】解：由 4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数 y= 的定义域[﹣2， 2]， 由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数 y=ln（1﹣x）的定义 域（﹣∞，1）， 则 A∩B=[﹣2，1）， 故选 D． 【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题． 2．（5 分）（2017•山东）已知 a ∈ R，i 是虚数单位，若 z=a+ i，z• =4，则 a= （ ） A．1 或﹣1 B． 或﹣ C．﹣ D． 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】求得 z 的共轭复数，根据复数的运算，即可求得 a 的值． 【解答】解：由 z=a+ i，则 z 的共轭复数 =a﹣ i， 由 z• =（a+ i）（a﹣ i）=a2+3=4，则 a2=1，解得：a=±1， ∴a 的值为 1 或﹣1， 故选 A． 【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础 题． 3．（5 分）（2017•山东）已知命题 p： ∀ x＞0，ln（x+1）＞0；命题 q：若 a＞b， 则 a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 【考点】2E：复合命题的真假．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑． 【分析】由对数函数的性质可知命题 p 为真命题，则￢p 为假命题，命题 q 是假 命题，则￢q 是真命题．因此 p∧￢q 为真命题． 【解答】解：命题 p： ∀ x＞0，ln（x+1）＞0，则命题 p 为真命题，则￢p 为假命 题； 取 a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但 a2＜b2，则命题 q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题． 故选 B． 【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题． 4．（5 分）（2017•山东）已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最大 值是（ ） A．0 B．2 C．5 D．6 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是 由 解得的点 A 的坐标， 代入目标函数求出最大值． 【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示； 由 解得 A（﹣3，4）， 此时直线 y=﹣ x+ z 在 y 轴上的截距最大， 所以目标函数 z=x+2y 的最大值为 zmax=﹣3+2×4=5． 故选：C． 【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题． 5．（5 分）（2017•山东）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单 位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看 出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 = x+ ，已知 xi=225， yi=1600， =4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5I ：概率与统计． 【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求 得 ，将 x=24 代入回归直线方程即可估计其身高． 【解答】解：由线性回归方程为 =4x+ ， 则 = xi=22.5， = yi=160， 则数据的样本中心点（22.5，160）， 由回归直线方程样本中心点，则 = ﹣4x=160﹣4×22.5=70， ∴回归直线方程为 =4x+70， 当 x=24 时， =4×24+70=166， 则估计其身高为 166， 故选 C． 【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力， 属于基础题． 6．（5 分）（2017•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 值为 7，第二次输入的 x 值为 9，则第一次，第二次输出的 a 值分别为（ ） A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；28 ：操作型；5K ：算法和程序框图． 【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案． 【解答】解：当输入的 x 值为 7 时， 第一次，不满足 b2＞x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，满足 b2＞x，故输出 a=1； 当输入的 x 值为 9 时， 第一次，不满足 b2＞x，也不满足 x 能被 b 整数，故 b=3； 第二次，不满足 b2＞x，满足 x 能被 b 整数，故输出 a=0； 故选：D 【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题． 7．（5 分）（2017•山东）若 a＞b＞0，且 ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A．a+ ＜ ＜log2（a+b）） B． ＜log2（a+b）＜a+ C．a+ ＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+ ＜ 【考点】72：不等式比较大小．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用． 【分析】a＞b＞0，且 ab=1，可取 a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系． 【解答】解：∵a＞b＞0，且 ab=1， ∴可取 a=2，b= ． 则 =4， = = ，log2（a+b）= = ∈ （1，2）， ∴ ＜log2（a+b）＜a+ ． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题． 8．（5 分）（2017•山东）从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽 取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；5I ：概率与统计． 【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公 式，可得答案． 【解答】解：从分别标有 1，2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，共 有 =36 种不同情况， 且这些情况是等可能发生的， 抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有 =20 种， 故抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率 P= = ， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础 题． 9．（5 分）（2017•山东）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的 是（ ） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 【考点】HP：正弦定理．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出 结果即可． 【解答】解：在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sinB（1+2cosC） =2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB， 可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以 2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力． 10．（5 分）（2017•山东）已知当 x ∈ [0，1]时，函数 y=（mx﹣1）2 的图象与 y= +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2 ，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0， ）∪[2 ，+∞） D．（0， ]∪[3，+∞） 【考点】3O：函数的图象．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数， 在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数，分 2 种情况讨论：①、当 0 ＜m≤1 时，有 ≥1，②、当 m＞1 时，有 ＜1，结合图象分析两个函数的单调 性与值域，可得 m 的取值范围，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，由于 m 为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函数，（ ，+∞）为增函数， 函数 y= +m 为增函数， 分 2 种情况讨论： ①、当 0＜m≤1 时，有 ≥1， 在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]， 函数 y= +m 为增函数，其值域为[m，1+m]， 此时两个函数的图象有 1 个交点，符合题意； ②、当 m＞1 时，有 ＜1， y=（mx﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（ ，1）为增函数， 函数 y= +m 为增函数，其值域为[m，1+m]， 若两个函数的图象有 1 个交点，则有（m﹣1）2≥1+m， 解可得 m≤0 或 m≥3， 又由 m 为正数，则 m≥3； 综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B． 【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实 数 m 的分类讨论． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11．（5 分）（2017•山东）已知（1+3x）n 的展开式中含有 x2 的系数是 54，则 n= 4 ． 【考点】DB：二项式系数的性质．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5P ：二项式定理． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：（1+3x）n 的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr． ∵含有 x2 的系数是 54，∴r=2． ∴ =54，可得 =6，∴ =6，n ∈ N*． 解得 n=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题． 12．（5 分）（2017•山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ 的夹角为 60°，则实数λ的值是 ． 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求 出λ的值． 【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量， ∴| |=| |=1，且 • =0； 又 ﹣ 与 +λ 的夹角为 60°， ∴（ ﹣ ）•（ +λ ）=| ﹣ |×| +λ |×cos60°， 即 + （ ﹣ 1 ） • ﹣ λ = × × ， 化简得 ﹣λ= × × ， 即 ﹣λ= ， 解得λ= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 13．（5 分）（2017•山东）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图 如图，则该几何体的体积为 2+ ． 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版 权所有 【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何． 【分析】由三视图可知：长方体长为 2，宽为 1，高为 1，圆柱的底面半径为 1， 高为 1 圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积． 【解答】解：由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为 1，高为 1，则圆柱的体积 V2= ×π×12×1= ， 则该几何体的体积 V=V1+2V1=2+ ， 故答案为：2+ ． 【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式， 考查计算能力，属于基础题． 14．（5 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 =1（a＞0， b＞0）的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py（p＞0）交于 A，B 两点，若 |AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y=± x ． 【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】把 x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣ 2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 【解答】解：把 x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的 根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．（5 分）（2017•山东）若函数 exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在 f （x）的定义域上单调递增，则称函数 f（x）具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 ①④ ． ①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2． 【考点】3F：函数单调性的性质．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用； 53 ：导数的综合应用． 【分析】把①②代入 exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入 exf（x），求导 数判断． 【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则 g（x）=exf（x）= 为实数集 上的增函数； 对于②，f（x）=3﹣x，则 g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数； 对于③，f（x）=x3，则 g（x）=exf（x）=ex•x3， g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当 x＜﹣3 时，g′（x）＜0， ∴g（x）=exf（x）在定义域 R 上先减后增； 对于④，f（x）=x2+2，则 g（x）=exf（x）=ex（x2+2）， g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0 在实数集 R 上恒成立， ∴g（x）=exf（x）在定义域 R 上是增函数． ∴具有 M 性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④． 【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中 档题． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）（2017•山东）设函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中 0＜ω＜3，已知 f（ ）=0． （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在[﹣ ， ]上的最小值． 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版 权所有 【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数 f（x）为正弦型函数，根据 f（ ）=0 求出ω的值； （Ⅱ）写出 f（x）解析式，利用平移法则写出 g（x）的解析式，求出 x ∈ [﹣ ， ]时 g（x）的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ） =sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx） = sinωx﹣ cosωx = sin（ωx﹣ ）， 又 f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0， ∴ ω﹣ =kπ，k ∈ Z， 解得ω=6k+2， 又 0＜ω＜3， ∴ω=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ）， 将函数 y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 函数 y= sin（x﹣ ）的图象； 再将得到的图象向左平移 个单位，得到 y= sin（x+ ﹣ ）的图象， ∴函数 y=g（x）= sin（x﹣ ）； 当 x ∈ [﹣ ， ]时，x﹣ ∈ [﹣ ， ]， ∴sin（x﹣ ） ∈ [﹣ ，1]， ∴当 x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ． 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档 题． 17．（12 分）（2017•山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及 其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是 的中点． （Ⅰ）设 P 是 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； （Ⅱ）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 【考点】MT：二面角的平面角及求法；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角． 【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得 BE⊥平面 ABP，得到 BE⊥BP，结 合∠EBC=120°求得∠CBP=30°； （Ⅱ）法一、取 的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEGH 为菱形，取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，得到 EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC 为所求二 面角的平面角．求解三角形得二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直 角坐标系．求出 A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面 AEG 与平面 ACG 的一个 法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E﹣AG﹣C 的大小． 【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且 AB，AP ⊂ 平面 ABP，AB∩AP=A， ∴BE⊥平面 ABP，又 BP ⊂ 平面 ABP， ∴BE⊥BP，又∠EBC=120°， 因此∠CBP=30°； （Ⅱ）解法一、 取 的中点 H，连接 EH，GH，CH， ∵∠EBC=120°，∴四边形 BECH 为菱形， ∴AE=GE=AC=GC= ． 取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC， 则 EM⊥AG，CM⊥AG， ∴∠EMC 为所求二面角的平面角． 又 AM=1，∴EM=CM= ． 在△BEC 中，由于∠EBC=120°， 由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ ，因此△EMC 为等边三角形， 故所求的角为 60°． 解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间 直角坐标系． 由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0）， 故 ， ， ． 设 为平面 AEG 的一个法向量， 由 ，得 ，取 z1=2，得 ； 设 为平面 ACG 的一个法向量， 由 ，可得 ，取 z2=﹣2，得 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角 E﹣AG﹣C 的大小为 60°． 【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题． 18．（12 分）（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心 理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接 受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗 示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5， A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示． （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率． （Ⅱ）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．菁 优网版权 所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计． 【分析】（1）利用组合数公式计算概率； （2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M， 则 P（M）= = ． （II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P（X=0）= = ， P（X=1）= = ， P（X=2）= = ， P（X=3）= = ， P（X=4）= = ． ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X 的数学期望 EX=0× +1× +2× +3× +4× =2． 【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望， 属于中档题． 19．（12 分）（2017•山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3 ﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1 （xn+1，n+1）得到折线 P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线 y=0，x=x1，x=xn+1 所围成的 区域的面积 Tn． 【考点】8I：数列与函数的综合．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列． 【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式； （II）从各点向 x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和 即可． 【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为 q，则 q＞0， 由题意得 ， 两式相比得： ，解得 q=2 或 q=﹣ （舍）， ∴x1=1， ∴xn=2n﹣1． （II）过 P1，P2，P3，…，Pn 向 x 轴作垂线，垂足为 Q1，Q2，Q3，…，Qn， 记梯形 PnPn+1Qn+1Qn 的面积为 bn， 则 bn= =（2n+1）×2n﹣2， ∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，① ∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，② ①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1 = + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1． ∴Tn= ． 【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题． 20．（13 分）（2017•山东）已知函数 f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x ﹣2），其中 e≈2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令 h（x）=g （x）﹣a f（x）（a ∈ R），讨论 h（x）的单调性并判断有无极 值，有极值时求出极值． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方 程．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；53 ：导数的综合应用；56 ：三角函 数的求值． 【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得 f′（π）=2π即为切线的斜率， 利用点斜式即可得出切线方程． （II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得 h′ （x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令 u（x）=x﹣sinx，则 u′ （x）=1﹣cosx≥0，可得函数 u（x）在 R 上单调递增． 由 u（0）=0，可得 x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0． 对 a 分类讨论：a≤0 时，0＜a＜1 时，当 a=1 时，a＞1 时，利用导数研究函数 的单调性极值即可得出． 【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π． ∴曲线 y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）． 化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0． （II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx） h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx） =2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）． 令 u（x）=x﹣sinx，则 u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数 u（x）在 R 上单调递增． ∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0． （1）a≤0 时，ex﹣a＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数 h（x）在（0，+∞）单 调递增； x＜0 时，h′（x）＜0，函数 h（x）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a． （2）a＞0 时，令 h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0． 解得 x1=lna，x2=0． ①0＜a＜1 时，x ∈ （﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调 递增； x ∈ （lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数 h（x）单调递减； x ∈ （0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调递增． ∴当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1． 当 x=lna 时，函数 h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]． ②当 a=1 时，lna=0，x ∈ R 时，h′（x）≥0，∴函数 h（x）在 R 上单调递增． ③1＜a 时，lna＞0，x ∈ （﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数 h（x）单 调递增； x ∈ （0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数 h（x）单调递减； x ∈ （lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数 h（x）单调递增． ∴当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1． 当 x=lna 时，函数 h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]． 综上所述：a≤0 时，函数 h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，函数 h（x） 在（﹣∞，0）单调递减． x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a． 0＜a＜1 时，函数 h（x）在 x ∈ （﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数 h（x） 在 x ∈ （lna，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna） +cos（lna）+2]． 当 a=1 时，lna=0，函数 h（x）在 R 上单调递增． a＞1 时，函数 h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数 h（x）在（0， lna）上单调递减．当 x=0 时，函数 h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当 x=lna 时，函数 h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解 法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．（14 分）（2017•山东）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： =1（a＞b ＞0）的离心率为 ，焦距为 2． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程． （Ⅱ）如图，动直线 l：y=k1x﹣ 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点， 直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2= ，M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2： 3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．菁优网版 权所有 【专题】16 ：压轴题；34 ：方程思想；4A ：数学模型法；5D ：圆锥曲线的 定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意得关于 a，b，c 的方程组，求解方程组得 a，b 的值，则椭 圆方程可求； （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的 关系求得 A，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆 M 的半 径 r，则 r= ．由题意设知 ．得到直线 OC 的 方程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 求 得 C 点 坐 标 ， 可 得 |OC| ， 由 题 意 可 知 ， sin = ．转化为关于 k1 的函数，换元后利用配方法求得∠ SOT 的最大值为 ，取得最大值时直线 l 的斜率为 ． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得 a= ，b=1． ∴椭圆 E 的方程为 ； （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，得 ． 由题意得△= ＞0． ， ． ∴|AB|= ． 由题意可知圆 M 的半径 r 为 r= ． 由题意设知， ，∴ ． 因此直线 OC 的方程为 ． 联立 ，得 ． 因此，|OC|= ． 由题意可知，sin = ． 而 = ． 令 t= ，则 t＞1， ∈ （0，1）， 因此， = ≥1． 当且仅当 ，即 t=2 时等式成立，此时 ． ∴ ，因此 ． ∴∠SOT 的最大值为 ． 综上所述：∠SOT 的最大值为 ，取得最大值时直线 l 的斜率为 ． 【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函 数的最值，考查计算能力，是压轴题． 参与本试卷答题和审题的老师有：铭灏 2016；742048；豫汝王世崇；沂蒙松； qiss；danbo7801；sxs123；zhczcb（排名不分先后） 菁优网 2017 年 8 月 1 日 考点卡片 1．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 2．复合命题的真假 【知识点的认识】 含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满 足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用 语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判 定．【解题方法点拨】 能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、 疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写 命题 P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对 象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是” 改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不 是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命 题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含 有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是 存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定 形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的 变化，常见关键词及其否定形式附表如下： 关 键 词 等 于 （= ） 大 于 （ ＞ ） 小 于 （ ＜ ） 是 能 都 是 没 有 至 多 有 一 个 至 少 有 一 个 至 少 有 n 个 至 多 有 n 个 任 意 的 任 两 个 P 且 Q P 或 Q 否 定 词 不 等 于 （ ≠） 不 大 于 （ ≤ ） 不 小 于 （ ≥ ） 不 是 不 能 不 都 是 至 少 有 一 个 至 少 有 两 个 一 个 都 没 有 至 多 有 n﹣ 1 个 至 少 有 n+1 个 某 个 某 两 个 ¬P 或 ¬ Q ¬P 且 ¬ Q 若原命题 P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关， 否命题与逆命题是等价命题，同真同假． 3．函数的定义域及其求法 【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于 1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 【解题方法点拨】 求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出 时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题 给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、 面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经 四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解 集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一 对应法则 f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数 g（x）中的 自变量是 x，所以求 g（x）的定义域应求 g（x）中的 x 的范围． 【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题． 4．函数单调性的性质 【知识点的认识】 所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的 值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性．它 是求函数值域或者比较大小的常用工具． 【解题方法点拨】 定义法、导数法、性质法 ①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1＜x2 时都 有 f（x1）＜f（x2）．那么就说 f（x）在 这个区间上是增函数． ②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单 调性）若 f'（x）＞0 则 f（x）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个 孤立的点的导函数为 0 仍为递增函数）． ③性质法：n 个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数 【命题方向】函数单调性的应用． 作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的 单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数 列问题也可以转化为函数来求解． 5．函数的图象 【知识点的认识】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、 单调性、周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）， 描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y=f（x）a＞0，右移 a 个单位（a＜0，左移|a|个单位） ⇒ y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移 b 个单位（b＜0，下移|b|个单位） ⇒ y=f（x）+b． （2）伸缩变换： y=f（x） y=f（ωx）； y=f（x）A＞1，伸为原来的 A 倍（0＜A＜1，缩为原来的 A 倍） ⇒ y=Af（x）． （3）对称变换： y=f（x）关于 x 轴对称 ⇒ y=﹣f（x）； y=f（x）关于 y 轴对称 ⇒ y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称 ⇒ y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y=f（x）去掉 y 轴左边图，保留 y 轴右边图，将 y 轴右边的图象翻折到左边 ⇒ y=f （|x|）； y=f（x）留下 x 轴上方图将 x 轴下方图翻折上去 y=|f（x）|． 【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几 何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称 得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要 先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点， 就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻 找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由 解的个数求参数值． 4、方法归纳： （1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 x，y 变换”的原 则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域； ②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 数、幂函数、形如 y=x+的函数； ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧， 来帮助我们简化作图过程． （3）3 种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下 降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题； ②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数 模型来分析解决问题． 6．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有 的点，都有 f（x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大 值=f（x0），x0 是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的 点，都有 f（x）＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值 =f（x0），x0 是极小值点． 2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极 小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使 函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3、判别 f（x0）是极大、极小值的方法： 若 x0 满足 f′（x0）=0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点， f（x0）是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极 大值点，f（x0）是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x） 的极小值点，f（x0）是极小值． 4、求函数 f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）； （2）求方程 f′（x）=0 的根； （3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列 成表格，检查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值． 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点 不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须 在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在 某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必 然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数， 即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的， 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个 极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点， 不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点． 7．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查 学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为 包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题 的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上 的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数 y=xlnx，求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为 y﹣0=1×（x﹣1）， 即 y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的 导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家 灵活应用，认真总结． 8．不等式比较大小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 【典型例题分析】 方法一：作差法 典例 1：若 a＜0，b＜0，则 p= 与 q=a+b 的大小关系为（ ） A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解 ： p ﹣ q= ﹣ a ﹣ b= = （ b2 ﹣ a2 ） = ， ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若 a=b，则 p﹣q=0，此时 p=q， 若 a≠b，则 p﹣q＜0，此时 p＜q， 综上 p≤q， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例 2：三个数 ， ， 的大小顺序是（ ） A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜ 解：由指数函数的单调性可知， ＞ ， 由幂函数的单调性可知， ＞ ， 则 ＞ ＞ ， 故 ＜ ＜ ， 故选：B． 9．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三 个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者 是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z=x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S= = ． （2）由 z=x+y，得 y=﹣x+z，则平移直线 y=﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z=2+3=5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y=﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z=4+3=7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条 直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通 过目标函数的平移去找到它的最值． 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考 的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标 曲线． 10．数列与函数的综合 【知识点的知识】 一、数列的函数特性： 等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共涉及五个量 a1，an，q， n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善 于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推 法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题． 二、解题步骤： 1．在解决有关数列的具体应用问题时： （1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质 性东西； （2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型； （3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果； （4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案． 2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题： （1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程． （2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数 列求和，或转化为基本数列求和． （3）求一般数列的前 n 项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的 前 n 项和的求法，触类旁通． 3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适 当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数 过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论． 【典型例题分析】 典例：已知 f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列 f（a1），f（a2），f（a3），…，f （an）…是首项为 4，公差为 2 的等差数列． （I）设 a 为常数，求证：{an}成等比数列； （II）设 bn=anf（an），数列{bn}前 n 项和是 Sn，当 时，求 Sn． 分析：（I）先利用条件求出 f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定 义来证{an}是等比数列即可； （II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可． 解答：证明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2， 即 logaan=2n+2，可得 an=a2n+2． ∴ = = 为定值． ∴{an}为等比数列．（5 分） （II）解：bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2．（7 分） 当 时， ．（8 分） Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ① 2Sn=2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ② ①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12 分） = ﹣（n+1）•2n+3=16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3． ∴Sn=n•2n+3．（14 分） 点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一 等差数列乘一等比数列组成的新数列． 11．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 12．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 13．线性回归方程 【概念】 线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互 依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因 变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析 中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这 种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变 量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关 关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系， 则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数 的类型为线性函数． 【实例解析】 例：对于线性回归方程 ，则 = 解： ，因为回归直线必过样本中心（ ）， 所以 ． 故答案为：58.5． 方法就是根据线性回归直线必过样本中心（ ），求出 ，代入即可求 ．这 里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式． 【考点点评】 这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点． 14．古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1．定义：如果一个试验具有下列特征： （1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个； （2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的． 则称这种随机试验的概率模型为古典概型． *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特 征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中 可能出现的结果进行分析和计算即可． 2．古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那 么每一个基本事件的概率都是 ； 如 果 某 个 事 件 A 包 含 的 结 果 有 m 个 ， 那 么 事 件 A 的 概 率 为 P （ A ） = = ． 【解题技巧】 1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 n 与事件 A 中 所包含的基本事件数． 因此要注意清楚以下三个方面： （1）本试验是否具有等可能性； （2）本试验的基本事件有多少个； （3）事件 A 是什么． 2．解题实现步骤： （1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； （2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； （3）分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m； （4）利用公式 P（A）= 求出事件 A 的概率． 3．解题方法技巧： （1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 （2）利用分析法求解古典概型． 15．离散型随机变量及其分布列 【考点归纳】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量 叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出， 这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中 a、b 是常 数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值， 这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续 型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按 一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出． 2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示， 并且 X 是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量 X 叫做一个随机变量．随机 变量常用大写字母 X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来， 则称 X 为离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量 X 的所有可能值为 x1，x2，…，xn；X 取 每一个对应值的概率分别为 p1，p2，…，pn，则得下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 该表为随机变量 X 的概率分布，或称为离散型随机变量 X 的分布列． （2）性质：①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=1． 16．离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机 变量取值的平均水平． 平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 p1=p2=…=pn，则有 p1=p2=…=pn= ，Eξ=（x1+x2+…+xn）× ，所以ξ的数学期望又称 为平均数、均值． 期望的一个性质：若η=aξ+b，则 E（aξ+b）=aEξ+b． 2、离散型随机变量的方差； 方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 x1，x2，…，xn，…，且 取这些值的概率分别是 p1，p2，…，pn…，那么， 称 为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 Eξ 是随机变量ξ的期望． 标准差：Dξ的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 方差的性质： ． 方差的意义： （1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； （2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度； （3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 17．二项式系数的性质 【知识点的知识】 1、二项式定理 一般地，对于任意正整数 n，都有 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各 项的系数 叫做二项式系数． 注意： （1）二项展开式有 n+1 项； （2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念； （3）每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂排列，b 的升幂排 列展开； （4）二项式定理通常有如下变形： ① ； ② ； （5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题． 2、二项展开式的通项公式 二项展开式的第 n+1 项 叫做二项展开式的 通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理 的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用． 注意： （1）通项公式表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 Cnr； （2）字母 b 的次数和组合数的上标相同； （3）a 与 b 的次数之和为 n． 3、二项式系数的性质． （ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即 ； （2）增减性与最大值：当 k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知， 它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当 n 为偶数时，则中间一项 的二项式系数最大；当 n 为奇数时，则中间的两项 ， 相等，且同时取 得最大值． 18．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 19．三角函数的恒等变换及化简求值 【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量 x 数值比较大时，如何转化成我们常见 的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性． 【公式】 ①正弦函数有 y=sin（2kπ+x）=sinx，sin（ +x）=sin（ ﹣x）=cosx ②余弦函数有 y=cos（2kπ+x）=cosx，cos（ ﹣x）=sinx ③正切函数有 y=tan（kπ+x）=tanx，tan（ ﹣x）=cotx， ④余切函数有 y=cot（ ﹣x）=tanx，cot（kπ+x）=cotx． 【例题解析】 例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于 解 ： ， ， ， ， ∴原式= ． 先利用诱导公式把 sin（﹣420°）和 cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°， 利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题， 解题时的基本要求一定要是恒等变换． 【考点点评】 本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所 有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模 块来说应该是比较简单的． 20．正弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 =2R a2=b2+c2﹣2bccos A， b2=a2+c2﹣2accos B， （ R 是△ABC 外接圆半径） c2=a2+b2﹣2abcos C 变 形 形 式 ①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C； ②sin A= ，sin B= ，sin C= ； ③a：b：c=sinA：sinB：sinC； ④asin B=bsin A，bsin C=csin B，asin C=csin A cos A= ， cos B= ， cos C= 解 决 三 角 形 的 问 题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他 两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一 边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三 边和其他两角 在△ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当 A 为锐角时，a＜bsin A，无解．当 A 为钝角或直角时，a≤b， 无解． 2、三角形常用面积公式 1．S= a•ha（ha 表示边 a 上的高）； 2．S= absin C= acsin B= bcsin A． 3．S= r（a+b+c）（r 为内切圆半径）． 21．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质： 22．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 性 质 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 23．直线与椭圆的位置关系 v． 24．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形， 包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进 行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活 求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解 答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、 俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正 俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟 记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8﹣2π B.8﹣π C.8﹣ D.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的 圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 圆柱， 正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2， ∴几何体的体积 V=23﹣2× ×π×12×2=8﹣π． 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量是解题的关键． 25．旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【知识点的认识】 旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成 的曲面叫作旋转面；该定直线 叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体． 1．圆柱 ①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围 成的几何体叫做圆柱． 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱 OO′． ②认识圆柱 ③圆柱的特征及性质 圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形． ④圆柱的体积和表面积公式 设圆柱底面的半径为 r，高为 h： 2．圆锥 ①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆锥． 圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥 SO． ②认识圆锥 ③圆锥的特征及性质 与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母 线． 母线长 l 与底面半径 r 和高 h 的关系：l2=h2+r2 ④圆锥的体积和表面积公式 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l： 3．圆台 ①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周 而成的曲面所围成的几何体叫做圆台． 圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台 OO′． ②认识圆台 ③圆台的特征及性质 平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形． ④圆台的体积和表面积公式 设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为 R，高为 h，母线长为 l： ． 26．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作 二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别 取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作 二面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分 别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的 平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l 上的 点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面 角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱 垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂 直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或 补角）相等．