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- 2021-06-17 发布
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数
一、选择题
.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))已知,则
A. B. C. D.
【答案】C
.(2013年高考陕西卷(理))设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
【答案】B
.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))在△ABC中, 则 =
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为
(A) (B) (C)0 (D)
【答案】B
.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))在,内角所对的边长分别为且,则
A. B. C. D.
【答案】A
.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知函数,下列结论中错误的是
(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称
(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数
【答案】C
.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))函数的图象大致为
【答案】D
.(2013年高考四川卷(理))函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)) ( )
A. B. C. D.
【答案】C
.(2013年高考湖南卷(理))在锐角中,角所对的边长分别为.若
A. B. C. D.
【答案】D
.(2013年高考湖北卷(理))将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题
.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))中,,是的中点,若,则________.
【答案】
.(2013年高考新课标1(理))设当时,函数取得最大值,则______
【答案】.
.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________
【答案】
.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数的最小正周期是_____________
【答案】
.(2013年高考四川卷(理))设,,则的值是_________.
【答案】
.(2013年高考上海卷(理))若,则
【答案】.
.(2013年高考上海卷(理))已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
【答案】
.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知是第三象限角,,则____________.
【答案】
.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))函数的最小正周期为___________.
【答案】
.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))在中,角所对边长分别为,若,则_______
【答案】7
.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.
【答案】
.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))设为第二象限角,若,则________.
【答案】
.(2013年高考江西卷(理))函数的最小正周期为为_________.
【答案】
.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))函数的最大值是_______________
【答案】5
三、解答题
.(2013年高考北京卷(理))在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
【答案】解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得
.所以.故.
(II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以.
在△ABC中,.
所以.
.(2013年高考陕西卷(理))已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ) =.
最小正周期.
所以最小正周期为.
(Ⅱ) .
.
所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为.
.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在中,内角的对边分别是,且.
(1)求; (2)设,求的值.
【答案】
由题意得
.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【答案】
.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))设向量
(I)若 (II)设函数
【答案】
.(2013年高考上海卷(理))(6分+8分)已知函数,其中常数;
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在
上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.
【答案】(1)因为,根据题意有
(2) ,
或,
即的零点相离间隔依次为和,
故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.
.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))设的内角的对边分别为,.
(I)求
(II)若,求.
【答案】
.(2013年高考四川卷(理))在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
【答案】解:由,得
,
即,
则,即
由,得,
由正弦定理,有,所以,.
由题知,则,故.
根据余弦定理,有,
解得或(舍去).
故向量在方向上的投影为
.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△的内角所对的边分别为,且,,.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,
又,,,所以,解得,.
(Ⅱ)在△中,,
由正弦定理得 ,
因为,所以为锐角,所以
因此 .
.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.
【答案】解: (Ⅰ)
.所以
(Ⅱ)
所以
.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式;
(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.
(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.
【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,
所以
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,
现研究时方程解的情况
令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或
当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点
由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以
综上,当,时,函数在内恰有个零点
.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))本小题满分14分.已知,.
(1)若,求证:;(2)设,若,求的值.
【答案】解:(1)∵ ∴ 即,
又∵,∴∴∴
(2)∵ ∴即
两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知函数,.
(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)
因为,,所以,
所以,
所以.
.(2013年高考湖南卷(理))已知函数.
(I)若是第一象限角,且.求的值;
(II)求使成立的x的取值集合.
【答案】解: (I).
(II)
.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路
长为,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
C
B
A
【答案】解:(1)∵,
∴∴,
∴
根据得
(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则
∴
∵即
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由正弦定理得(m)
乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C
设乙的步行速度为V ,则
∴∴
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内
法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
C
B
A
D
M
N
.(2013年高考湖北卷(理))在中,角,,对应的边分别是,,.已知.
(I)求角的大小;
(II)若的面积,,求的值.
【答案】解:(I)由已知条件得:
,解得,角
(II),由余弦定理得:,
.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若
,求△面积的最大值.
【答案】
.(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;
(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,
∴=,∴=.
.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.
在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.
(1)若,求点的坐标;
(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.
P2
0
x
y
A
P1
P3
P4
[解](1)
(2)
【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知,
而,
所以,解得或.
故点的坐标为或.
(2)由题意,点的坐标为,.
.
因为,所以,
当且仅当,即时等号成立.
易知在上为增函数,
因此,当时,最大,其最大值为.
.(2013年高考江西卷(理))在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.
(1) 求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范围
【答案】解:(1)由已知得
即有
因为,所以,又,所以,
又,所以.
(2)由余弦定理,有.
因为,有.
又,于是有,即有.
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