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- 2021-06-17 发布
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此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
绝密 ★ 启用前
2018年最新高考信息卷
文 科 数 学(五)
注意事项:
1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位,实数,满足,则( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】,,,
则,故选D.
2.已知集合,集合,
若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,
得到,,,,故选A.
3.函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,则可以是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知,函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,即平移后得到的函数为奇函数,即为奇函数,对照选项可知选B.
4.地的天气预报显示,地在今后的三天中,每一天有强浓雾的概率为,现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率,先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数,并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾,用7,8,9表示有强浓雾,再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况,产生了如下20组随机数:
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由随机数表可知,满足题意的数据为978,479,588,779,据此可知,这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为,选D.
5.如图所示的三视图表示的几何体的体积为,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、,一条侧棱垂直底面的四棱锥,设高为4,则,,将该几何体补成一个长方体,则其外接球半径为,故这个几何体的外接球的表面积为.故选C.
6.《九章算术》是我国古代一部数学名著,某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图,其中表示除以的余数,例如.若输入的值为8时,则输出的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】模拟执行程序框图,可得:,,,满足条件,满足条件,,,满足条件,不满足条件,,满足条件,满足条件,,,…,,可得:2,4,8,∴共要循环3次,故.故选B.
7.已知,则、、的大小排序为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,为正实数,令,,,可得:,,,即,
因为函数单调递增,∴.故选A.
8.,是两个平面,,是两条直线,则下列命题中错误的是( )
A.如果,,,那么
B.如果,,那么
C.如果,,,那么
D.如果,,,那么
【答案】D
【解析】对于A,如果,则或,因为,则,故正确;对于B,如果,,那么与无公共点,则,故正确;对于C,如果,,,则,故正确;对于D,如果,,,则有或或与相交,故错误.故选D.
9.已知双曲线的离心率为,其一条渐近线被圆截得的线段长为,则实数的值为( )
A.3 B.1 C. D.2
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为,则,,,故其一条渐近线不妨为,圆的圆心,半径为2,双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为,且圆的半径为2,圆心为,则圆心到直线的距离为,,,故选D.
10.已知函数,若,使得成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题函数的定义域为,且
,即函数为及奇函数,且
在上恒成立,即函数在上单调递增,若,使得成立,
即,
则问题转化为,,即,在上
得最小值为,故实数k的取值范围是.故选A.
11.如图,过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点,令,,则当时,的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】设,,则由过抛物线的焦点的直线的性质可得,,又,可得,,
分别过点,作准线的垂线,分别交准线于点,,则
,同理可得,,故选C.
12.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,,,则,,的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,,是定义在实数集上的奇函数,是定义在实数集上的偶函数,当时,,∴此时函数单调递增.,,
又,,故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知实数,满足条件,则的最大值为__________.
【答案】4
【解析】画出可行域如图所示,则当目标函数经过点时取到最大值,,即答案为4.
14.已知,,则__________.
【答案】
【解析】∵,,∴,
∴,
故答案为.
15.在中,是的中点,,点在上,且满足,则的值为___________.
【答案】
【解析】∵,点在上,且满足,∴.
∵是的中点,∴,
∴.
16.已知中,角、、所对的边分别是、、且,,有以下四个命题:
①的面积的最大值为40;
②满足条件的不可能是直角三角形;
③当时,的周长为15;
④当时,若为的内心,则的面积为.
其中正确命题有__________(填写出所有正确命题的番号).
【答案】③④
【解析】①由题,,由余弦定理得:
,
当且仅当,即,取等号,此时,,
的面积的最大值为24,①不正确;
②由题,假设是直角三角形,则,解得,,,故可能是直角三角形,②不正确;
③当时,有正弦定理,结合由余弦定理可得,,,,的周长为15,③正确;
④当时,,,,若为的内心,则设的内接圆半径为,由可得,,故,,则,即的面积为;故答案为③④.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列满足,(为常数).
(1)试探究数列是否为等比数列,并求;
(2)当时,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)∵,∴,
又,所以当时,,数列不是等比数列.
此时,即;
当时,,所以.
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列.
此时,即.
(2)由(1)知,所以,
①,
②,
①-②得:
,
所以.
18.(12分)为了弘扬民族文化,某中学举行了“我爱国学,传诵经典”考试,并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本,其中成绩不低于80
分的学生被评为优秀生,得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.
(1)若该所中学共有2000名学生,试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数;
(2)①试估计这次参加考试的学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
②若在样本中,利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人,再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍,试求恰好抽中2名优秀生的概率.
【答案】(1)600;(2)①72.5;②.
【解析】(1)由直方图可知,样本中数据落在的频率为,
则估计全校这次考试中优秀生人数为.
(2)①设样本数据的平均数为,
则,
则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5.
②由分层抽样知识可知,成绩在,,间分别抽取了3人,2人,1人.记成绩在的3人为,,,成绩在的2人为,,成绩在的1人为,记恰好抽中2名优秀生为事件,则从这6人中抽取3人的所有可能结果有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共20种,
其中恰好抽中2名优秀生的结果有,,,,,,,,共9种,则.
19.(12分)三棱柱中,,,分别为棱,,的中点.
(1)求证:直线平面;
(2)若三棱柱的体积为,求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)连交于点,连,.
则,且,又,且
∴,且,∴四边形为平行四边形,
∴,又平面,平面,∴平面.
(2)由题意得,
∵平面,∴,
∴,∴.
20.(12分)已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动,动点满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、,在轴上是否存在定点,使得直线与的斜率之积为常数.若存在,求出定点的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】(1)设,,,
由于,所以,
即,所以,又,所以,
从而,即曲线的方程为:.
(2)由题意设直线的方程为:,,,
由得:,所以,
故,,
假设存在定点,使得直线与的斜率之积为常数,则
,
当,且时,为常数,解得;
显然当时,常数为;当时,常数为,
所以存在两个定点,,使得直线与的斜率之积为常数,当定点为时,常数为;当定点为时,常数为.
21.(12分)已知函数且.
(1)求实数的值;
(2)令在上的最小值为,求证:.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】(1)法1:由题意知:恒成立等价于在时恒成立,令,则,
当时,,故在上单调递增,
由于,所以当时,,不合题意.
当时,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,即
,
所以要使在时恒成立,则只需,
亦即,
令,则,
所以当时,;当时,,即在上单调递减,在上单调递增.又,所以满足条件的只有2,即.
法2:由题意知:恒成立等价于在时恒成立,
令,由于,故,
所以为函数的最大值,同时也是一个极大值,故.
又,所以,
此时,当时,,当时,,
即:在上单调递增;在上单调递减.故合题意.
(2)由(1)知,所以,
令,则,
由于,所以,即在上单调递增;又,,
所以,使得,且当时,;当时,,
即在上单调递减;在上单调递增.
所以,,
即,所以,即.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)【选修4-4坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,直线:(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线:.
(1)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;
(2)记射线与直线和曲线的交点分别为点和点(异于点),求的最大值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)由题意得直线l的普通方程为:,
所以其极坐标方程为:;
由得:,所以,
所以曲线C的直角坐标方程为:.
(2)由题意,,
所以,
由于,所以当时,取得最大值.
23.(10分)【选修4-5不等式选讲】
已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若关于的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题意或,
所以或,即或,或或,
故原不等式的解集为.
(2),
由于,
所以当时,的最小值为.
所以实数的取值范围为:.
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