2020学年度高中数学 第一章 ：第二课时 函数奇偶性的应用(习题课) 4页

第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 利用奇偶性求函数值 ‎2,3,7‎ 利用奇偶性求解析式 ‎5,8‎ 奇偶性与单调性的综合应用 ‎1,4,6,9,10,11,12,13‎ ‎1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为(　C　)‎ ‎(A)y= (B)y=x2+1‎ ‎(C)y= (D)y=x 解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.‎ ‎2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(2)等于(　D　)‎ ‎(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10‎ 解析:由于f(x)是定义在R上的奇函数,‎ 因此f(2)=-f(-2),根据已知条件可得 f(-2)=2×(-2)2-(-2)=10.故f(2)=-10.选D.‎ ‎3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(　A　)‎ ‎(A)4 (B)0 (C)‎2m (D)-m+4‎ 解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2‎ ‎=-a·57+b·55-c·53+2‎ ‎=m,‎ 得a·57-b·55+c·53=2-m,‎ 则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.‎ 所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.‎ ‎4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则(　C　)‎ ‎(A)f(-2)0,‎ 故f(x)在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.‎ 又因为f(x)是偶函数,‎ 所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,‎ f(-2)=f(2),‎ - 4 -‎ 由3>2>1>0,得f(3)0时,f(x)=x-2 013,且知f(x)在定义域上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是(　A　)‎ ‎(A)f(x)=x+2 013 (B)f(x)=-x+2 013‎ ‎(C)f(x)=-x-2 013 (D)f(x)=x-2 013‎ 解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 013,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 013,故选A.‎ ‎6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有(　D　)‎ ‎(A)最小值-8 (B)最大值-8‎ ‎(C)最小值-6 (D)最小值-4‎ 解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,则F(x)在(-∞,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.‎ ‎7.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=　　　　. ‎ 解析:根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,‎ g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,‎ 则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.‎ 答案:-15‎ ‎8.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为　　　　. ‎ 解析:由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),‎ 设f(x)=kx+b,‎ 代入解得k=1,b=2,‎ 所以f(x)=x+2.‎ 答案:f(x)=x+2‎ ‎9.(2017·孟坝中学高一期中)f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)f(-3) ‎ ‎(B)f(π)f(-3.14)>f(-3) ‎ ‎(D)f(π)f(|-3.14|)>f(π),‎ 所以f(π)f()>f(1)>f()成立.故选D.‎ - 4 -‎ ‎12.已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,则f(2x+1)>f(+1)的解集为　　　　. ‎ 解析:根据函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,‎ 则由f(2x+1)>f（+1）,可得|2x+1|>|+1|, ①‎ 且|2x+1|≤1. ②‎ 把①平方可得x（x+1）>0,‎ 所以x<-,或x>0.‎ 由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.‎ 综合可得,-1≤x<-.‎ 答案:[-1,-)‎ ‎13.定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)=‎ ‎2f‎(a)·f(b)成立,且f(0)≠0.‎ ‎(1)求f(0)的值;‎ ‎(2)试判断f(x)的奇偶性.‎ 解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=‎2f(0)·f(0),即f(0)=f2(0).‎ 因为f(0)≠0,所以f(0)=1.‎ ‎(2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=‎2f(0)·f(x).‎ 因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=‎2f(x).‎ 所以f(x)=f(-x).‎ 所以f(x)是R上的偶函数.‎ - 4 -‎