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- 2021-06-17 发布
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2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后,上交答题卡。
参考公式:(1) (2) (3)
(4)若事件相互独立,则与同时发生的概率.
第I卷(选择题,共40分)
一、选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若实数满足,则的最小值是( )
A. B. - C. -3 D.
3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.已知集合,集合,
则的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 若,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 在△ABC中,,,则角=( )
A. B. C.或 D.
7.已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点,且为抛物线的准线与x轴的交点,为抛物线上的一点,且满足,则点到直线的距离为( )
A. B. 1 C. D. 2
8. 已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题,共110分)
二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
9. 在二项式的展开式中,含的项的系数是
俯视图
(第11题图)
2
1
侧(左)视图
4
2
正(主)视图
10.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是,若直线与曲线相交于两点,则=_________
11.某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆
与其直径组成的图形,则此几何体的体积是
12.在平行四边形ABCD中,
∠BAD=60°,E为CD的中点,若是线段
BC上一动点,则的取值范围是_________
13. 若正实数,满足,则的最大值是
14. 3个男生和3个女生排成一列,若男生甲与另外两个男同学都不相邻,则不同的排法共
有 种(用数字作答)
三.解答题(本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分13分) 已知函数.
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)若,求的值;
16. (本小题满分13分) 某单位年会进行抽奖活动,在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片,2张印有“二等奖”的卡片,3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元,抽中“二等奖”获奖100元,抽中“新年快乐”无奖金。
(Ⅰ)单位员工小张参加抽奖活动,每次随机抽取一张卡片,抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”,求的值;
(Ⅱ)若单位员工小王参加抽奖活动,一次随机抽取2张卡片。
记表示“小王参加抽奖活动中奖”,求的值;
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数(单位:元)”,求的分布列和数学期望.
17.(本小题满分13分)在四棱锥中,,∥,,,是的中点,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得所成角的余弦值是,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分13分)已知数列,且数列是公差不等于0的等差数列,且满足:,成等比数列。
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆的左右焦点分别为,椭圆的焦距为6,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求实数的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知函数,
(Ⅰ)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)设函数,若恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷(理科) 评分标准
一、选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分). CCAB BDDB
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分).
9. -5; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 288.
三.解答题(本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)若,求的值;
【解析】(Ⅰ)
-----------------------------2分
-----------------------------3分
-----------------------------4分
-----------------------------5分
令,,
,-----------------------------6分
所以,的单调递增区间为:---------------------------------7分
(Ⅱ) ,-----------------------------8分
-----------------------------9分
-----------------------------10分
-----------------------------11分
-----------------------------12分
--------------------------13分
16. (本小题满分13分)某单位年会进行抽奖活动,在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片,2张印有“二等奖”的卡片,3张印有“新年快乐”的卡片.抽中“一等奖”获奖200元,抽中“二等奖”获奖100元,抽中“新年快乐”无奖金。
(Ⅰ)单位员工小张参加抽奖活动,每次随机抽取一张卡片,抽取后不放回。假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖4次停止活动”,求的值;
(Ⅱ)若单位员工小王参加抽奖活动,一次随机抽取2张卡片.
记表示“小王参加抽奖活动中奖”,求的值;
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数(单位:元)”,求的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)…………4分
(Ⅱ)①…………6分
②由题意可知可取的值为0,100,200,300. 则…………7分
…………10分
因此的分布列为
X
0
100
200
300
P
………11分
的数学期望是
…………13分
17.(本小题满分13分)在四棱锥中,,∥,,,是的中点,.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得所成角的余弦值是,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)证明:取PB的中点M,AB的中点N,连接EM和CM,
∴CD∥AB且CD=AB,
∴E,M分别为PA,PB的中点,
EM∥AB且EM=AB,
∴EM∥CD且EM=CD,四边形CDEM为平行四边形,(2分)
∴DE∥CM,CM⊂平面PBC,DE⊄平面PBC,(3分)
∴DE∥平面BPC.(4分)
(Ⅰ)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),P(0,0,1). (1分)
设平面PBC的法向量为
∴,令 ∴ (2分)
又
(3分)
∴ ∥平面 (4分)
(Ⅱ)设点F坐标为(1,t,0),
则=(1,t-1,0),=(1,2,0),
由·=0得t=.∴ (5分)
设平面FPC的法向量为,
由得即 令∴(6分)
则=. (7分)
又由图可知,该二面角为锐二面角,
故二面角F-PC-D的余弦值为.(8分)
(Ⅲ)设,∴ (9分)
∴
∴ (10分)
∵所成角的余弦值是∴其正弦值为 (11分)
∴ ,整理得:
(12分)
∴存在满足条件的点,且 (13分)
18.(本小题满分13分)已知数列,且数列是公差不等于0的等差数列,且满足:,成等比数列。
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.解析:(Ⅰ)时, (1分)
时,, (2分)
是以为首项,为公比的等比数列,(3分)
(4分)
又得: , (5分)
, 因为解得,(6分)
(7分)
(Ⅱ)
(8分)
(9分)
(10分)
(11分)
(12分)
(13分)
19. (本小题满分14分)
已知椭圆的左右焦点分别为,椭圆的焦距为6,离心率为.
(Ⅰ)若,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,分别为线段的中点,若坐标原点在以为直径的圆上,且,求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ)由题意得,(1分) ∴.(2分)
又因为,∴. (3分) 所以椭圆的方程为. (4分)
(Ⅱ)由 得. (5分)
设.所以,(6分)
依题意,,(7分)
法1:,
(9分)
法2:易知,四边形为平行四边形,所以.
因为,,
所以.(9分)
即 ,将其整理为 . (11分)
因为,所以,.(12分)
所以,(13分) (14分)
20.(本小题满分14分)
已知函数,
(Ⅰ)若,且在其定义域上存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)设函数,若恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
20.解:(I),
则………………………………2分
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以<0有正解.
法1:因y=x2+bx+1为开口向上的抛物线且过点(0,1),
………………………4分
法2:,
(II) ………………………5分
,于是………………………6分
当在区间是减函数,
当在区间是增函数.
所以时取得最小值,,………………………7分
因为恒成立,所以
.………………………9分
(Ⅲ)证法一 设点P、Q的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2),不妨设0
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