湖北省部分省重点中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题解析版 10页

湖北部分重点中学高一年级大联考数学试题 第 1 页 共 10 页 湖北省部分重点中学高一年级大联考 数学试题 命题学校：湖北省十堰市郧阳中学 命题人：吴顺华 审题人：赵志勇 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。 2．所有试题的答案均写在答题卡上。对于选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 3．答第Ⅱ卷时，必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．cos10°sin70°﹣sin10°sin20°＝（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】A 【解答】解：cos10°sin70°﹣sin10°sin20°＝cos10°cos20°﹣sin10°sin20° ＝cos（10°+20°）＝cos30°＝ ．故选：A． 2．已知直线 kx﹣y-k-1＝0 和以 M（-3，1）， N（3，2）为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为（ ） A．k≤ B． 1 2k ≥− C． 1 2 − ≤k≤ D．k≤ 1 2 − 或 k≥ 【答案】D 【解答】解：因为直线 kx﹣y-k-1＝0 恒过定点 A（1，-1）， 又因为 kAM= 1 2 − ，kAN＝ ，故直线的斜率 k 的范围为 k≤ 1 2 − 或 k≥ ．故选：D． 3．已知向量 a  ＝（4，5）， 2ab−＝（﹣2，11），则向量 a  在向量b  方向上的投影为（ ） A．1 B． 2 2 − C． 2 2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：∵ ＝（4，5）， -2 ＝（﹣2，11）， ∴ (3, 3)b = − ， ∴向量 在 方向上的投影为 ＝ 435(3) 2 232 ×+×− = − ，故选：B． 湖北部分重点中学高一年级大联考数学试题 第 2 页 共 10 页 4．若 1sin( )63 πα +=，则 5sin(2 )6 πα +=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由 1sin( )63 πα +=，则 5sin(2 ) sin[ 2( )]62 6 ππ παα+ = ++ cos 2( )6 πα= += 2 71 2sin ( )69 πα− +=．故选：A． 5．若 a，b 为正实数，直线 2x+（2a﹣3）y+2＝0 与直线 bx+2y﹣1＝0 互相垂直，则 ab 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由直线 2x+（2a﹣3）y+2＝0 与直线 bx+2y﹣1＝0 互相垂直， 所以 2b+2（2a﹣3）＝0，即 2a+b＝3；又 a、b 为正实数，所以 2a+b≥2 ， 即 2ab≤ ＝ ，当且仅当 a＝ ，b＝ 时取“＝”；所以 ab 的最大值为 ．故选：B． 6．为了测量河对岸两地 A、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线 CD，测 得 CD=a 米，再测得∠ACD=900， ∠BCD=300，∠ADC=450，∠CDB=1050，据此计算 A、B 两地之间的距离是（ ） A． 6a B． 6 2 a C．( 3 1)a+ D． 3a 【答案】B 【解答】解：由图形知，在⊿ACD 中， ∠ACD=900，∠ADC=450，所 以 AC=a，在 ⊿BCD 中，∠BCD=300， ∠CDB=1050，所 以 ∠CBD=450，由正弦定理得 00sin105 sin 45 BC a= ，所 以 0 312 sin105 2BC a a+= = ， 在⊿ABC 中，∠ACB=600，所以 AB= 22 031 31 6( ) 2 cos6022 2a aa a a+++− =，故选：B． 7．用一根长为 36cm 的铁丝围成正三角形框架，其顶点为 A，B，C，将半径为 4cm 的球放置在这个框架 上（ 如 图 ）．若 M 是球上任意一点，则四面体 MABC 体积的最大值为（ ） A．72 3 3cm B．216 3 3cm C．24 3 3cm D．6 3 3cm 【答案】A 【解答】解：三角形边长 12cm，三角形中心到边的距离 23cm，因为球的半径为 4cm，所以球心到 湖北部分重点中学高一年级大联考数学试题 第 3 页 共 10 页 截面的距离 224 (2 3) 2d =−=cm，当 M 到截面的距离等于 d+r=6cm 时四面体 MABC 的体积最大， 所以体积的最大值为 213( 12 ) 6 72 334 × × ×= cm3，故选 A 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直 径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发 现，圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）． A．3：2 和 1：1 B．2：1 和 3：2 C．3：2 和 3：2 D．2：1 和 1：1 【答案】C 【解析】:由题意，圆柱底面半径 r＝球的半径 R，圆柱的高 h＝2R，则 V 球 4 3 = πR3， V 柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴ 3 3 23 4 2 3 V R V R π π = =柱 球 ．S 球＝4πR2， S 柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2．∴ 2 2 63 42 S R SR π π= =柱 球 ．故选 C 9．若 0, 0xy>>，且 11112x xy +=++ ，则 2xy+ 的最小值为（ ） A． 2 B． 23 C． 1 32 + D． 423+ 【答案】C 【解答】解法 1：由 0, 0xy>>，且 11 3 11, 11 2 33 2x xy x xy +=∴+=++ ++ ，所以 1 1 31 3 1 32 (4 2 ) [(3 3) ( 2 )] [(3 3) ( 2 )]( )2 2 22 3 3 2 2xy xy x xy x xyx xy += + = +++ −= +++ + −++ = 1 3( 2 ) 3 3 3 1 3 1[4 ] (4 2 3) 32 3 3 2 22 22 xy x x xy +++ + −≥ + −=+++ ，所以 2xy+ 的最小值为 1 32 + ，故选 C 解法 2：由原式得 x xxy 2 1 2−+= 代入可得 yx +2 =−++=+ x xxxyx 2 122 2 32 1 2 1 2 1 2 3)11(2 12 +≥++=−++ xxxxx 所以 2xy+ 的最小值为 1 32 + ，故选 C 湖北部分重点中学高一年级大联考数学试题 第 4 页 共 10 页 10．已知向量 ， 满足| | 3,| | 2ab= =，且对任意的实数 x，不等式| || |a xb a b+ ≥+  恒成立，设 ,ab 的夹 角为θ ，则 tanθ 的值为（ ） A． 5 2 B． 5 2 − C．﹣ 5 D． 5 【答案】B 【解答】解：根据题意，对任意的实数 x，不等式 恒成立，则（ + ）与 垂直， 则有（ + ）• ＝ • + 2＝6cos θ +4＝0，解可得 cos θ ＝﹣ 2 3 ，又由 0≤ θ ≤ π ，则 sin θ ＝ 5 3 ，则 tan θ = ﹣ 5 2 故选：B． 11．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 22b c ac= + ，则角 C 的取值范围是（ ） A．(0, )4 π B．(,)42 ππ C．(,)43 ππ D．（ ， ） 【答案】D 【解答】解：∵ 22b c ac= + ∴ 222 2 sin sincos 2 2 2 2sin acb aacac A CB ac ac C C +− − − −= = = = ， 2sin cos sin sinCB A C= − ，所以sin cos sin cos sinBC CB C−= ∴sin( ) sinBC C−= ，∵A，B，C 都是锐角，∴ ( ,),(0,)22 2BC Cππ π− ∈− ∈ ，∴B-C=C，即 B=2C． 由 0 ,0 ,0 ,222ABCπππ<< << << 得 0 2 02 2 22 C C CC π π π π  <<  <<   < +< ，解得 即角 C 的取值范围是（ ， ）． 故选 D． 12．在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，O 为△ABC 的外心，且有 AB+BC＝ 23 3 AC， sinC（cosA﹣ 3 ）+cosCsinA＝0，若 ,,AO xAB y AC x y R=+∈   ，则 x﹣y＝（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：设三角形的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 湖北部分重点中学高一年级大联考数学试题 第 5 页 共 10 页 AB+BC═ AC，sinC（cosA﹣ ）+cosCsinA＝0，可得 c+a＝ b，sinCcosA+cosCsinA＝ sinC， 即为 sin（C+A）＝ sinC，即有 sinB＝ sinC，可得 b＝ c，a＝c， cosB＝ ＝ ＝﹣ ，可得 B＝120°，A＝C＝30°， 所以△ABC 中，2AO= 0 3 2,sin sin120 bcc OA cB = =∴= 若 ＝x +y ，可得 • ＝x 2+y • ，即有 c2＝xc2+ y• c2， 化为 2x+3y＝1， 又可得 • ＝x • +y 2，即有 c2＝ xc2+y•3c2， 化为 x+2y＝1， 解得 x＝﹣1，y＝1，则 x﹣y＝﹣1﹣1＝﹣2，故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填写在答题卡上） 13．已知 ， ， ，则 AB AC =   【答案】 3 2 【解答】解：因为 ， ， ，两边平方可得 ， 所以 ，故填： 3 2 ． 14．已知 (0, )2 πα ∈ ，若 sin2 α ﹣2cos2 α ＝2，则 sin α ＝（ ） 【答案】 25 5 【解答】解：∵sin2α﹣2cos2α＝2，∴sin2α＝2（cos2α+1）＝4cos2α，可得 sinαcosα＝2cos2α， ∵ (0, )2 πα ∈ ，可得 cosα≠0，∴sinα＝2cosα， ∵sin2α+cos2α＝sin2α+ 1 4 sin2α＝1，解得 sin2α＝ 4 5 ，可得 sinα＝ 25 5 ．故填： 25 5 ． 15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ① 若 sinA＞sinB，则 A＞B； ② 若 sin2A＝sin2B， 则△ABC 一定为等腰三角形； ③ 若 222cos cos cos 1ABC+−=，则 △ ABC 为直角三角形； ④ 若△ABC 为锐角三角形，则 sinA