2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案（修改） 7页

‎2017年三明市普通高中毕业班质量检查 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：每小题5分，满分60分．‎ ‎1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8. C 9. D 10.D 11.C 12.C 二、填空题：每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 14.2 15. 16.‎ ‎17．解：（Ⅰ），，，‎ 在△中，由正弦定理，‎ 得， ……………………2分 又，所以，则为锐角，所以，‎ 则，‎ 所以△的面积．……………………6分 ‎（Ⅱ）设，则，，又，，‎ 在△中，由余弦定理得，‎ 即，解得， ……………………9分 则，所以， ‎ 在直角△中，．…………………………12分 ‎18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，‎ 因为，，，‎ 由余弦定理得， 得， ……………………2分 所以，即，又∥，‎ 所以，‎ 又，，所以，，‎ 所以平面，所以． …………………………5分 ‎（Ⅱ）侧面底面，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线坐标轴，‎ 建立如图所示空间直角坐标系， ……………………6分 则，，，‎ ‎，，‎ ‎ ，所以，，‎ ‎，设，‎ 则，，‎ 所以，‎ 易得平面的法向量． ……………………8分 ‎ 设平面的法向量为，由，，‎ 得令，得． ……………………10分 ‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ 所以，即，所以 ，‎ 即，解得，所以． …………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）（i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 ‎ ． …………………………4分 ‎（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：‎ 月用水量（吨）‎ 价格（元/吨）‎ ‎4‎ ‎ ‎ 概率 ‎ ‎ 所以全市居民用水价格的期望吨．…………8分 ‎(Ⅱ) 设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，‎ ‎ 它们的平均值分别为，，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．‎ 设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则 ‎ 即 ‎ 当时，，‎ 所以李某7月份的用水吨数约为13吨． …………………………12分 ‎20. 解法一：（I）因为△的面积是△的面积的3倍，‎ 所以，即 ，所以，所以，‎ 则椭圆的方程为． …………………………4分 ‎（II）当，则，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为， ‎ 不妨设点在轴上方， ， 设，，‎ 则的直线方程为，代入中整理得 ‎，‎ ‎； ‎ 同理． ……………………8分 所以，， ……………………10分 则 ，‎ 因此直线的斜率是定值． …………………………12分 解法二：（I）同 解法一．‎ ‎（II）依题意知直线的斜率存在，所以设方程：代入中 整理得，设 ，，‎ 所以， ， ……………………6分 当，则，不妨设点在轴上方， ，‎ 所以，整理得，……………8分 所以，‎ 整理得， ……………………9分 即，所以或．……………………10分 当时，直线过定点， 不合题意；‎ 当时，，符合题意，‎ 所以直线的斜率是定值． …………………………12分 ‎21. 解法一：(Ⅰ)当时，，‎ ‎ ……………………1分 设直线与曲线相切，其切点为，‎ 则曲线在点处的切线方程为：，‎ 因为切线过点，所以， ……………………2分 即， ‎ ‎，， ……………………………………3分 设，‎ ‎…………………4分 在三个区间上至少各有一个根 又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，‎ 故过点有三条直线与曲线相切． …………………………………5分 ‎ (Ⅱ) 当时，，即当时，‎ 当时，， …………………………………6分 设，则， ……7分 设，则．‎ ⑴当时，，从而（当且仅当时，等号成立）‎ 在上单调递增，‎ 又当时，，从而当时，，‎ 在上单调递减，又，‎ 从而当时，，即 于是当时，， …………………………………9分 ⑵当时，令，得 故当时, ,‎ 在上单调递减，‎ 又当时，，‎ 从而当时，，‎ 在上单调递增，又，‎ 从而当时，，即 于是当时，， ……………………………11分 综合得的取值范围为. ……………………………12分 解法二：(Ⅰ)当时，，‎ ‎ ，……………………1分 设直线与曲线相切，其切点为，‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 因为切线过点，所以， ……………………2分 即， ‎ ‎， ……………………………………3分 设，则，令得 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎………………………………………………………4分 恰有三个根，‎ 故过点有三条直线与曲线相切． …………………………………5分 ‎ （Ⅱ）同解法一．‎ ‎22．解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为， ………………2分 的直角坐标方程为． ………………5分 ‎（Ⅱ）由直线的极坐标方程：，得 所以直线的直角坐标方程为:，又点在直线上，‎ 所以直线的参数方程为：，‎ 代入的直角坐标方程得， …………………………8分 设A，B对应的参数分别为，‎ ‎，．‎ ‎ …………………………10分 ‎23． 解：（I）当时，不等式为 若时，不等式可化为，解得，‎ 若时，不等式可化为，解得，‎ 若时，不等式可化为，解得，‎ 综上所述，关于的不等式的解集为． ………………5分 ‎（II）当时，，‎ 所以当时，等价于，‎ 当时，等价于，解得，‎ 当时，等价于，解得，‎ 所以的取值范围为． …………………………10分