高考数学专题复习课件：13-1-1 坐标系与参数方程 31页

§ 13.1 　坐标系与参数方程 课时 1 　坐标系 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 .2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 .3. 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 .4. 能在极坐标系中给出简单图形 ( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆 ) 的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 2 ． 极坐标系 (1) 极坐标系的概念 ① 极坐标系 如图所示，在平面内取一个 _____ O ，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条 _____ Ox ， Ox 叫做极轴；再选定一个 _________ 、一个 ___________ ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系． 定点 射线 长度单位 角度单位 ② 极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0 ， θ 可取任意实数． ③ 点与极坐标的关系 一般地，极坐标 ( ρ ， θ ) 与 _________________ 表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为 ____________ ，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 ______ 种表示． ( ρ ， θ ＋ 2 k π )( k ∈ Z) (0 ， θ )( θ ∈ R) 无数 如果规定 ρ ＞ 0 ， 0 ≤ θ ＜ 2 π ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ______ 表示；同时，极坐标 ( ρ ， θ ) 表示的点也是唯一确定的． ( ρ ， θ ) 3 ． 常见曲线的极坐标方程 3 ．在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ ＝ 4sin θ 和直线 ρ sin θ ＝ a 相交于 A ， B 两点．当 △ AOB 是等边三角形时，求 a 的值． 【 解析 】 由 ρ ＝ 4sin θ 可得 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 y ，即 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4. 由 ρ sin θ ＝ a 可得 y ＝ a . 题型一　极坐标与直角坐标的互化 【 例 1 】 (1) 以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段 y ＝ 1 － x (0 ≤ x ≤ 1) 的极坐标方程． (2) 在极坐标系中，曲线 C 1 和 C 2 的方程分别为 ρ sin 2 θ ＝ cos θ 和 ρ sin θ ＝ 1. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 C 1 和 C 2 交点的直角坐标． 【 方法规律 】 (1) 极坐标与直角坐标互化的前提条件： ① 极点与原点重合； ② 极轴与 x 轴的正半轴重合； ③ 取相同的单位长度． (2) 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 x ＝ ρ cos θ 及 y ＝ ρ sin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρ cos θ ， ρ sin θ ， ρ 2 的形式，进行整体代换． 【 答案 】 2 题型二　求曲线的极坐标方程 【 例 2 】 (2017· 南通二模 ) 将圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C . (1) 写出曲线 C 的方程； (2) 设直线 l ： 2 x ＋ y － 2 ＝ 0 与 C 的交点为 P 1 ， P 2 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1 P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 【 方法规律 】 求曲线的极坐标方程的步骤： (1) 建立适当的极坐标系，设 P ( ρ ， θ ) 是曲线上任意一点； (2) 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式； (3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 【 方法规律 】 (1) 已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2) 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用 .