高考数学专题复习课件：8-2空间几何体的表面积与体积 61页

§8.2 　空间几何体的表面积与体积 [ 考纲要求 ] 　了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 ( 不要求记忆 ) ． 1 ． 多面体的表 ( 侧 ) 面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 _____________________ ，表面积是侧面积与底面面积之和． 所有侧面的面积之和 2 ． 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 4. 常用结论 (1) 与体积有关的几个结论 ① 一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． ② 底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． (2) 几个与球有关的切、接常用结论 a ．正方体的棱长为 a ，球的半径为 R ， 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 多面体的表面积等于各个面的面积之和． ( 　　 ) (2) 锥体的体积等于底面积与高之积． ( 　　 ) (3) 球的体积之比等于半径比的平方． ( 　　 ) (4) 简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差． ( 　　 ) (5) 长方体既有外接球又有内切球． ( 　　 ) (6) 圆柱的一个底面积为 S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2 π S .( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) × 【 解析 】 S 表 ＝ π r 2 ＋ π rl ＝ π r 2 ＋ π r · 2 r ＝ 3 π r 2 ＝ 12 π ， ∴ r 2 ＝ 4 ， ∴ r ＝ 2(cm) ． 【 答案 】 B 【 答案 】 A 3 ． (2015· 陕西 ) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) A ． 3 π B ． 4 π C ． 2 π ＋ 4 D ． 3 π ＋ 4 【 答案 】 D 4 ． (2016· 四川 ) 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ________ ． 5 ． (2015· 天津 ) 一个几何体的三视图如图所示 ( 单位： m) ，则该几何体的体积为 ________m 3 . 题型一　求空间几何体的表面积 【 例 1 】 (1)(2015· 安徽 ) 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( 　　 ) (2)(2015· 课标全国卷 Ⅰ ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 ( 半径为 r ) 组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16 ＋ 20 π ，则 r 等于 ( 　　 ) A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 (3) (2016· 课标全国 Ⅱ ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( 　　 ) A ． 20 π B ． 24 π C ． 28 π D ． 32 π 【 解析 】 (1) 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示． (3) 由三视图可知，该几何体为一个圆柱上放着一个同底的圆锥，如图．根据题中数据，可知圆锥的母线长为 4 ，圆柱母线长为 4 ，它们的底面半径为 2. ∴ S 圆锥侧 ＝ π × 2 × 4 ＝ 8 π ， S 圆柱侧 ＝ 2 π × 2 × 4 ＝ 16 π ， S 圆柱下底 ＝ 4 π . ∴ 该几何体的表面积为 8 π ＋ 16 π ＋ 4 π ＝ 28 π . 故选 C. 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 　 (3)C 【 方法规律 】 空间几何体表面积的求法 (1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． (2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 跟踪训练 1 (2016· 课标全国 Ⅲ ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( 　　 ) 【 答案 】 B 题型二　求空间几何体的体积 命题点 1 　求以三视图为背景的几何体的体积 【 例 2 】 (2015· 课标全国 Ⅱ ) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( 　　 ) 【 解析 】 如图，由题意知，该几何体是正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 被过三点 A 、 B 1 、 D 1 的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥 A A 1 B 1 D 1 ，设正方体的棱长为 1 ，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 【 答案 】 D 【 答案 】 C 跟踪训练 2 (1) (2016· 山东 ) 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( 　　 ) (2) (2016· 北京 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( 　　 ) 【 答案 】 (1)C 　 (2)A 【 方法规律 】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【 解析 】 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M . 【 答案 】 C 【 引申探究 】 1 ．本例若将直三棱柱改为 “ 棱长为 4 的正方体 ” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 【 解析 】 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为 R ，内切球的半径为 r . 2 ．本例若将直三棱柱改为 “ 正四面体 ” ，则此正四面体的表面积 S 1 与其内切球的表面积 S 2 的比值为多少？ 【 方法规律 】 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1) 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2) 若球面上四点 P ， A ， B ， C 构成的三条线段 PA ， PB ， PC 两两互相垂直，且 PA ＝ a ， PB ＝ b ， PC ＝ c ，一般把有关元素 “ 补形 ” 成为一个球内接长方体，利用 4 R 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 求解． 【 答案 】 B 思想与方法系列 14 巧用补形法解决立体几何问题 【 典例 】 (2017· 青岛模拟 ) 如图： △ ABC 中， AB ＝ 8 ， BC ＝ 10 ， AC ＝ 6 ， DB ⊥ 平面 ABC ，且 AE ∥ FC ∥ BD ， BD ＝ 3 ， FC ＝ 4 ， AE ＝ 5. 则此几何体的体积为 ________ ． 【 思维点拨 】 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积． 【 答案 】 96 【 温馨提醒 】 (1) 补形法的应用思路： “ 补形法 ” 是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过 “ 补形 ” 补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中 “ 还台为锥 ” ． (2) 补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法 . ► 方法与技巧 求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 (1) 转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形， “ 化曲为直 ” 来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法． (2) 求体积的两种方法： ① 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． ② 等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形 ( 或几何体 ) 的面积 ( 或体积 ) 通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形 ( 或三棱锥 ) 的高，而通过直接计算得到高的数值． ► 失误与防范 求空间几何体的表面积应注意的问题 (1) 求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理． (2) 底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错 .