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- 2021-06-19 发布
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江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研
数学文试题
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.己知全集U={﹣1,0,2},集合A={﹣1,0},则= .
答案:{2}
考点: 补集及其运算
解析:∵全集U={﹣1,0,2},集合A={﹣1,0},
∴={2}.
2.己知复数(i为虚数单位),复数z虚部为 .
答案:
考点:复数
解析:,故虚部为.
3.设向量=(l,k),=(﹣2,k﹣3),若∥,则实数k的值为 .
答案:1
考点:向量平行的坐标运算
解析:∵向量=(l,k),=(﹣2,k﹣3),且∥,
∴,解得k=1.
4.函数=的单调减区间为 .
答案:(,)
考点:利用导数研究函数的单调性
解析:∵=,∴,
当时,,故原函数的单调减区间为(,).
5.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为45º,且过点(3,1),则双曲线的焦距等于 .
答案:8
考点:双曲线及其性质
解析:由题意知:,解得,故,∴焦距2c=8.
6.己知偶函数在[0,+∞)单调递减,=0,若>0,则x的取值范围是 .
答案:(,)
考点:函数的单调性与奇偶性
解析:由于函数是偶函数,且=0,则=0,又在[0,+∞)单调递减,
故在(﹣∞,0]单调递增,∴当时,,
要使>0,则,解得,故x的取值范围是(,).
7.如图,己知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是棱CC1的中点,则三棱锥M—A1AB的体积 .
答案:
考点:棱锥的体积
解析:.
8.在△ABC中,如果sin A:sin B:sin C=2:3:4,则sin C= .
答案:
考点:正弦定理、余弦定理
解析:∵sin A:sin B:sin C=2:3:4,
∴a:b:c=2:3:4,
设a=2x,b=3x,c=4x,
∴,
∴sinC=.
9.己知等比数列的前n项和为,若=7,=63,则= .
答案:448
考点:等比数列的性质
解析:∵=7,=63,则,
∴,即=448.
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域的边界为x2+y2=4,河岸线所在直线方程为x+y﹣6=0,假定将军从点P(3,﹣2)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军行走的最短路程为 .
答案:﹣2
考点:对称点求法,两点间距离公式的计算
解析:设点Q与点O关于直线x+y﹣6=0对称,连接PQ,则PQ﹣2即为所求最小值,
首先求得点Q(6,6),则PQ=,
∴PQ﹣2=﹣2,则将军行走的最短路程为﹣2.
l1.在平行四边形ABCD中,己知AB=6,AD=5,,=﹣18,则= .
答案:15
考点:平面向量的数量积
解析:∵
又=﹣18,AB=6,AD=5,
∴,故,
∴
.
12.己知x (0,3),则的最小值为 .
答案:
考点:基本不等式
解析:,
∵,∴
∴
,
当且仅当x=1时,取“=”.
13.己知△ABC的面积为+1,AC=2,且=1,则tanA的值为 .
答案:
考点:三角恒等变换、正弦定理
解析:∵=1,
∴,
∴4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,
∴3sinC=sinB(sinA﹣cosA),故=sinA﹣cosA,
∵△ABC的面积为+1,则,代入上式得:
,∵b=AC=2,
∴,即,
解得.
14.己知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=﹣2的对称点在kx﹣y﹣3=0的图象上,则实数k的取值范围是 .
答案:(,)(1,)
考点:函数与方程
解析:直线kx﹣y﹣3=0关于直线y=﹣2的对称直线为y=﹣1﹣kx,
故可将题意转化为直线y=﹣1﹣kx与函数有且仅有两个交点,
当x=0时,显然不符合题意,当x≠0时,参变分离得:,
即方程有两个不相等的实数根,通过数形结合即可求得实数k的取值范围是k>1或k<,即(,)(1,).
二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
若函数(>0,0<<)的图象经过点(0,),且相邻的两条对称轴之间的距离为6.
(1)求函数的解析式;
(2)若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,当x [﹣1,5]时,的值域.
解:(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6,
记的周期为,则,
又,.
;
的图象经过点,
,,
函数的解析式为
(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,
由(1)得,,
函数的解析式为;
当时,,则.
综上,当时,的值域为.
16.(本题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为棱PD的中点,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:PB //平而AEC;
(2)若四边形ABCD是矩形且PA=AD,求证:AE⊥平面PCD.
证明:(1)连接交于,
因为是平行四边形,所以是的中点,
因为为的中点,所以//
又因为平面,平面
所以//平面
(2)因为且是的中点,所以
又因为平面,平面,所以
因为四边形是矩形,所以,因为平面且
所以平面 又因为平面,所以
平面且
所以平面
17.(本题满分14分)
如图①,某半径为lm的圆形广告牌,安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见,决定对广告牌制作一合金支架.如图②,支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN,线段PA,线段PB构成.其中点P为广告牌的最低点,且为弧MN中点,点A,B在墙面上,PA垂直于墙面.兼顾美观及有效支撑,规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为,[,].经测算,PA、PB段的每米制作费用分别为a元、a元,弧MN段侮米制作费用为3a元.
(1)试将制作一个支架所需的费用表示为的函数;
(2)求制作支架所需费用的最小值.
解:(1)在扇形OMN中,劣弧MN的长度为
在中,,
所以所需费用,
(2)
当时,,在区间上单调递减;
当时,,在区间上单调递增;
所以当时,有最小值
答:所需费用的最小值元.
18.(本题满分16分)
如图,己知椭圆C:过点(1,),离心率为,A,B分别是椭圆C的左,右顶点,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线线l与椭圆相交于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)记△AFM,△BFN的而积分别为S1,S2,若,求k的值;
(3)己知直线AM、BN的斜率分k1,k2,求的值.
解:(1)设椭圆的焦距为.离心率为
, 解得.
则椭圆的方程为.
(2) 设点
,整理可得
即,
代入坐标,可得即,又点在椭圆C上
,解得
直线的斜率
(3) 直线的方程为
由消去得
又
19.(本题满分16分)
己知函数.
(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程:
(2)当a>0时,讨论的单调性;
(3)若有两个极值点,(≠),且不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)当时,, ,
所以在处的切线方程为,即
(2)定义域为,
①若时,,,
所以单调递增区间为,无减区间;
②若,则
当时,;当时,
所以单调递增区间为,无减区间;
③若时,由,得或
当,或时,
当时,
所以单调递增区间为,
单调递减区间为
(3)由(1)知,,且,
不等式恒成立等价于
恒成立
又
所以,
令(),则,
所以在上单调递减,
所以,所以
20.(本题满分16分)
若数列满足(n),则称为“螺旋递增数列”.
(1)设数列是“螺旋递增数列”,且,(n),求;
(2)设数列是“螺旋递增数列”,其前n项和为,求证:中存在连续三项成等差数列,但不存在连续四项成等差数列;
(3)设数列是“螺旋上升数列”,且,(n),记数列的n项和为.问是否存在实数t,使得对任意的n恒成立?若存在,请求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1),,是以为首项4为公比的等比数列,
,,
∵数列是“螺旋递增数列”,
(2)由数列是“螺旋递增数列”得,故,
∴中存在连续三项成等差数列;.Com]
(注:给出具体三项也可)
假设中存在连续四项成等差数列,
则,即,
当时,,①
当时,,②
由数列是“螺旋递增数列”得,③
①②与③都矛盾,故假设不成立,即中不存在连续四项成等差数列.
(3)∵,,是以为首项为公差的等差数列,
,又数列是“螺旋递增数列”,
故,
,
①当时,
,,
又恒成立,恒成立,.
②当时,
,,
又恒成立,恒成立,.
综上①②,存在满足条件的实数,其取值范围是.
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