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  • 2021-06-19 发布

2020届江苏省高邮市高三上学期12月阶段性学情联合调研数学(文)试题(解析版)

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江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研 数学文试题 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.己知全集U={﹣1,0,2},集合A={﹣1,0},则= .‎ 答案:{2}‎ 考点: 补集及其运算 解析:∵全集U={﹣1,0,2},集合A={﹣1,0},‎ ‎ ∴={2}.‎ ‎2.己知复数(i为虚数单位),复数z虚部为 .‎ 答案:‎ 考点:复数 解析:,故虚部为.‎ ‎3.设向量=(l,k),=(﹣2,k﹣3),若∥,则实数k的值为 .‎ 答案:1‎ 考点:向量平行的坐标运算 解析:∵向量=(l,k),=(﹣2,k﹣3),且∥,‎ ‎ ∴,解得k=1.‎ ‎4.函数=的单调减区间为 .‎ 答案:(,)‎ 考点:利用导数研究函数的单调性 解析:∵=,∴,‎ ‎ 当时,,故原函数的单调减区间为(,).‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为45º,且过点(3,1),则双曲线的焦距等于 .‎ 答案:8‎ 考点:双曲线及其性质 解析:由题意知:,解得,故,∴焦距2c=8.‎ ‎6.己知偶函数在[0,+∞)单调递减,=0,若>0,则x的取值范围是 .‎ 答案:(,)‎ 考点:函数的单调性与奇偶性 解析:由于函数是偶函数,且=0,则=0,又在[0,+∞)单调递减,‎ ‎ 故在(﹣∞,0]单调递增,∴当时,,‎ ‎ 要使>0,则,解得,故x的取值范围是(,).‎ ‎7.如图,己知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是棱CC1的中点,则三棱锥M—A1AB的体积 .‎ 答案:‎ 考点:棱锥的体积 解析:.‎ ‎8.在△ABC中,如果sin A:sin B:sin C=2:3:4,则sin C= .‎ 答案:‎ 考点:正弦定理、余弦定理 解析:∵sin A:sin B:sin C=2:3:4,‎ ‎ ∴a:b:c=2:3:4,‎ ‎ 设a=2x,b=3x,c=4x,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴sinC=.‎ ‎9.己知等比数列的前n项和为,若=7,=63,则= .‎ 答案:448‎ 考点:等比数列的性质 解析:∵=7,=63,则,‎ ‎ ∴,即=448.‎ ‎10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域的边界为x2+y2=4,河岸线所在直线方程为x+y﹣6=0,假定将军从点P(3,﹣2)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军行走的最短路程为 .‎ 答案:﹣2‎ 考点:对称点求法,两点间距离公式的计算 解析:设点Q与点O关于直线x+y﹣6=0对称,连接PQ,则PQ﹣2即为所求最小值,‎ ‎ 首先求得点Q(6,6),则PQ=,‎ ‎ ∴PQ﹣2=﹣2,则将军行走的最短路程为﹣2.‎ l1.在平行四边形ABCD中,己知AB=6,AD=5,,=﹣18,则= .‎ 答案:15‎ 考点:平面向量的数量积 解析:∵‎ ‎ 又=﹣18,AB=6,AD=5,‎ ‎ ∴,故,‎ ‎ ∴‎ ‎ .‎ ‎12.己知x (0,3),则的最小值为 .‎ 答案:‎ 考点:基本不等式 解析:,‎ ‎ ∵,∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ,‎ ‎ 当且仅当x=1时,取“=”.‎ ‎13.己知△ABC的面积为+1,AC=2,且=1,则tanA的值为 .‎ 答案:‎ 考点:三角恒等变换、正弦定理 解析:∵=1,‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,‎ ‎ ∴3sinC=sinB(sinA﹣cosA),故=sinA﹣cosA,‎ ‎ ∵△ABC的面积为+1,则,代入上式得:‎ ‎ ,∵b=AC=2,‎ ‎ ∴,即,‎ ‎ 解得.‎ ‎14.己知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=﹣2的对称点在kx﹣y﹣3=0的图象上,则实数k的取值范围是 .‎ 答案:(,)(1,)‎ 考点:函数与方程 解析:直线kx﹣y﹣3=0关于直线y=﹣2的对称直线为y=﹣1﹣kx,‎ ‎ 故可将题意转化为直线y=﹣1﹣kx与函数有且仅有两个交点,‎ ‎ 当x=0时,显然不符合题意,当x≠0时,参变分离得:,‎ ‎ 即方程有两个不相等的实数根,通过数形结合即可求得实数k的取值范围是k>1或k<,即(,)(1,).‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 若函数(>0,0<<)的图象经过点(0,),且相邻的两条对称轴之间的距离为6.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,当x [﹣1,5]时,的值域.‎ 解:(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6,‎ 记的周期为,则,‎ 又,. ‎ ‎;‎ 的图象经过点,‎ ‎,, ‎ 函数的解析式为 ‎ ‎(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,‎ 由(1)得,,‎ 函数的解析式为; ‎ 当时,,则. ‎ 综上,当时,的值域为. ‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为棱PD的中点,PA⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:PB //平而AEC;‎ ‎(2)若四边形ABCD是矩形且PA=AD,求证:AE⊥平面PCD.‎ 证明:(1)连接交于,‎ 因为是平行四边形,所以是的中点,‎ 因为为的中点,所以// ‎ 又因为平面,平面 所以//平面 ‎ ‎(2)因为且是的中点,所以 又因为平面,平面,所以 ‎ 因为四边形是矩形,所以,因为平面且 所以平面 又因为平面,所以 ‎ 平面且 所以平面 ‎ ‎17.(本题满分14分)‎ 如图①,某半径为lm的圆形广告牌,安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见,决定对广告牌制作一合金支架.如图②,支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN,线段PA,线段PB构成.其中点P为广告牌的最低点,且为弧MN中点,点A,B在墙面上,PA垂直于墙面.兼顾美观及有效支撑,规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为,[,].经测算,PA、PB段的每米制作费用分别为a元、a元,弧MN段侮米制作费用为3a元.‎ ‎(1)试将制作一个支架所需的费用表示为的函数;‎ ‎(2)求制作支架所需费用的最小值.‎ 解:(1)在扇形OMN中,劣弧MN的长度为 在中,, ‎ 所以所需费用, ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ 当时,,在区间上单调递减;‎ ‎ 当时,,在区间上单调递增;‎ 所以当时,有最小值 ‎ 答:所需费用的最小值元. ‎ ‎18.(本题满分16分)‎ 如图,己知椭圆C:过点(1,),离心率为,A,B分别是椭圆C的左,右顶点,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线线l与椭圆相交于M,N两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)记△AFM,△BFN的而积分别为S1,S2,若,求k的值;‎ ‎(3)己知直线AM、BN的斜率分k1,k2,求的值.‎ 解:(1)设椭圆的焦距为.离心率为 ‎, 解得. ‎ 则椭圆的方程为. ‎ (2) 设点 ‎ ,整理可得 即, ‎ 代入坐标,可得即,又点在椭圆C上 ‎,解得 直线的斜率 ‎ (3) 直线的方程为 由消去得 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(本题满分16分)‎ 己知函数.‎ ‎(1)当a=1时,求在x=1处的切线方程:‎ ‎(2)当a>0时,讨论的单调性;‎ ‎(3)若有两个极值点,(≠),且不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)当时,, ,‎ ‎   所以在处的切线方程为,即 ‎ ‎  (2)定义域为,‎ ‎ ①若时,,,‎ 所以单调递增区间为,无减区间; ‎ ‎    ②若,则 ‎     当时,;当时,‎ 所以单调递增区间为,无减区间; ‎ ‎    ③若时,由,得或 ‎     当,或时,‎ ‎     当时,   ‎ ‎     所以单调递增区间为,‎ ‎      单调递减区间为 ‎ ‎(3)由(1)知,,且, ‎ 不等式恒成立等价于 恒成立 又 ‎ ‎ 所以, ‎ 令(),则,‎ 所以在上单调递减, ‎ 所以,所以 ‎ ‎20.(本题满分16分)‎ 若数列满足(n),则称为“螺旋递增数列”.‎ ‎(1)设数列是“螺旋递增数列”,且,(n),求;‎ ‎(2)设数列是“螺旋递增数列”,其前n项和为,求证:中存在连续三项成等差数列,但不存在连续四项成等差数列;‎ ‎(3)设数列是“螺旋上升数列”,且,(n),记数列的n项和为.问是否存在实数t,使得对任意的n恒成立?若存在,请求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1),,是以为首项4为公比的等比数列,‎ ‎,,‎ ‎∵数列是“螺旋递增数列”, ‎ ‎(2)由数列是“螺旋递增数列”得,故,‎ ‎∴中存在连续三项成等差数列;.Com]‎ ‎(注:给出具体三项也可) ‎ 假设中存在连续四项成等差数列,‎ 则,即,‎ 当时,,①‎ 当时,,②‎ 由数列是“螺旋递增数列”得,③‎ ‎①②与③都矛盾,故假设不成立,即中不存在连续四项成等差数列. ‎ ‎(3)∵,,是以为首项为公差的等差数列,‎ ‎,又数列是“螺旋递增数列”,‎ 故,‎ ‎, ‎ ‎①当时,‎ ‎,,‎ 又恒成立,恒成立,. ‎ ‎②当时,‎ ‎,,‎ 又恒成立,恒成立,. ‎ 综上①②,存在满足条件的实数,其取值范围是. ‎