人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2-3反证法与放缩法word版含解析 5页

第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么 3 a＞ 3 b”时，假设的内 容是( ) A. 3 a＝ 3 b B. 3 a＜ 3 b C. 3 a＝ 3 b，且 3 a＜ 3 b D. 3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b 解析：应假设 3 a≤ 3 b，即 3 a＝ 3 b或 3 a＜ 3 b. 答案：D 2．实数 a，b，c 不全为 0 的等价命题为( ) A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 答案：D 3．用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有有理根，那么 a，b，c 中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( ) A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个偶数 解析：至少有一个是的否定为都不是． 答案：B 4．设 x，y，z 都是正实数，a＝x＋1 y ，b＝y＋1 z ，c＝z＋1 x ，则 a， b，c 三个数( ) A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不小于 2 D．都大于 2 解析：因为 a＋b＋c＝x＋1 x ＋y＋1 y ＋z＋1 z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当 x＝y＝z＝1 时等号成立，所以 a，b，c 三者中至少有一个不小于 2. 答案：C 5．若不等式 x2－2ax＋a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立，则关于 t 的不等式 at2＋2t－3＜1 的解集为( ) A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．∅ D．(0，1) 解析：不等式 x2－2ax＋＋a＞0 对一切实数 x∈R 恒成立，则Δ＝ (－2a)2－4a＜0，即 a2－a＜0，解得 0＜a＜1， 所以不等式 at2＋2t－3＜1 转化为 t2＋2t－3＞0，解得 t＜－3 或 t ＞1. 答案：B 二、填空题 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数 f(x)在 0，1]上 有意义，且 f(0)＝f(1)，如果对于不同的 x1，x2∈0，1]，都有|f(x1)－f(x2)| ＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜1 2 ，那么它的假设应该是________． 答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥1 2 7．lg 9·lg 11 与 1 的大小关系是________． 解析：因为 lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 11 2 ＝lg 99 2 ＜lg 100 2 ＝1， 所以 lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1 8．设 a，b，c 均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b， 则“PQR＞0”是“P，Q，R 同时大于零”的________条件． 解析：必要性是显然成立的；当 PQR＞0 时，若 P，Q，R 不同时 大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设 P＞0，Q＜0，R＜0，则 Q＋R＝2c＜0，这与 c＞0 矛盾，即充分性也成立． 答案：充要 三、解答题 9．已知 x，y＞0，且 x＋y＞2.求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于 2. 证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x ≥2， 则 1＋x≥2y， ① 1＋y≥2x. ② 由①②式可得 2＋x＋y≥2(x＋y)，即 x＋y≤2，与题设矛盾． 所以1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于 2. 10．设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1 a ＋1 b.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立． 证明：由 a＋b＝1 a ＋1 b ＝a＋b ab ，a＞0，b＞0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2. (2)假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立， 则由 a2＋a＜2 及 a＞0 得 0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，从而 ab＜1，这与 ab＝1 矛盾． 故 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立． B 级 能力提升 1．若 a＞0，b＞0，满足 ab≥1＋a＋b ，那么( ) A．a＋b 有最小值 2＋2 2B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2＋2 2 解析：1＋a＋b≤ab≤（a＋b）2 4 ， 所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0， 解得 a＋b≤2－2 2或 a＋b≥2＋2 2， 因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b≥2＋2 2，故选 A. 答案：A 2．设 x，y，z，t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤100，则x y ＋z t 的最小值为 ________． 解析：因为x y ≥1 y ≥1 z ，且z t ≥ z 100 ， 所以x y ＋z t ≥1 z ＋ z 100 ≥2 1 z · z 100 ＝1 5 ， 当且仅当 x＝1，y＝z＝10，t＝100 时，等号成立． 答案：1 5 3．若数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*，求证：对一切正整数 n，有 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an <7 4. 证明：①当 n＝1 时， 1 a1 ＝1<7 4 ，所以原不等式成立． ②当 n＝2 时， 1 a1 ＋ 1 a2 ＝1＋1 4<7 4 ，所以原不等式成立． ③当 n≥3 时， 因为 n2>(n－1)·(n＋1)，所以 1 n2< 1 （n－1）·（n＋1）. 1 a1 ＋ 1 a2 ＋ … ＋ 1 an ＝ 1 12 ＋ 1 22 ＋ … ＋ 1 n2 <1 ＋ 1 1×3 ＋ 1 2×4 ＋ … ＋ 1 （n－2）n ＋ 1 （n－1）·（n＋1）＝1＋1 2 1－1 3 ＋1 2 1 2 －1 4 ＋1 2 1 3 －1 5 ＋… ＋1 2 1 n－2 －1 n ＋1 2 1 n－1 － 1 n＋1 ＝1＋1 2 1－1 3 ＋1 2 －1 4 ＋1 3 －1 5 ＋…＋ 1 n－2 －1 n ＋ 1 n－1 － 1 n＋1 ＝1＋1 2 1＋1 2 －1 n － 1 n＋1 ＝7 4 ＋1 2(－1 n － 1 n＋1)<7 4. 所以当 n≥3 时，所以原不等式成立． 综上所述，对一切正整数 n，有 1 a1 ＋ 1 a2 ＋…＋ 1 an <7 4.