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- 2021-06-19 发布
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课时跟踪检测（七） 函数的最大(小)值与导数
A级——学考水平达标
1．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：选A f′(x)＝2－＝，
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x<－时，f′(x)>0，当－0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.
6．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，知x＝－3.
当x<－3时，f′(x)<0；
当－30.
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也是最小值，
所以f(x)min＝27.
答案：27
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值为________，最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
当x>1时，f′(x)<0，
当x<1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,4]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝.
又∵f(0)＝0，f(4)＝＞0，
7
∴f(x)min＝0.
答案： 0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，
∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.
∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
7
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
极大值
极小值
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
B级——高考能力达标
1．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
7
3．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
4．已知当x∈时，函数f(x)＝tx－sin x(t∈R)的值恒小于零，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A f(x)＝tx－sin x<0在x∈内恒成立，即t<在内恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝xcos x－sin x，则φ′(x)＝－xsin x，
当x∈时，φ′(x)<0，∴φ(x)在上单调递减，
∴φ(x)<φ(0)＝0，∴sin x>xcos x，∴g′(x)<0，
∴g(x)在内单调递减，∴t≤＝.
5．已知函数f(x)＝x＋cos x，x∈，当f(x)取得最大值时，x的值为________．
解析：由题意知f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，
所以f(x)＝x＋cos x在上是增函数．
所以当x＝时，f(x)取得最大值．
答案：
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0，得x＝－1，∴
7
函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
答案：－
7．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax.
所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)
＝a(3x－2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝2(舍去)，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
故f(x)的最大值为f＝a<32，即a<27.
所以0f(1)＝a.
所以f(x)的最大值为f(－2)＝－32a<32，即a>－1.
所以－10.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－＝.
因为f(x)在x＝1处取得极值，
故f′(1)＝0，解得a＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝，
因为x≥0，a>0，故ax＋1>0,1＋x>0.
当a≥2时，在区间[0，＋∞)上f′(x)≥0恒成立，
7
故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)的最小值为f(0)＝1.
当00，解得x> ；
由f′(x)<0，解得x< .则f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，＋∞.
故f(x)在x＝处取得最小值，
又f
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