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  • 2021-06-19 发布

浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测七函数的最大小值与导数新人教A版选修2-2

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课时跟踪检测(七) 函数的最大(小)值与导数 A级——学考水平达标 ‎1.设函数f(x)=2x+-1(x<0),则f(x)(  )‎ A.有最大值       B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 解析:选A f′(x)=2-=,‎ 令f′(x)=0,得x=-.‎ 当x<-时,f′(x)>0,当-0得sin x<,‎ ‎∴0≤x<;由y′<0得sin x>,∴2>,∴当x=时取最大值,故应选B.‎ ‎6.函数f(x)=x2-(x<0)的最小值是________.‎ 解析:f′(x)=2x+.令f′(x)=0,知x=-3.‎ 当x<-3时,f′(x)<0;‎ 当-30.‎ 所以当x=-3时,f(x)取得极小值,也是最小值,‎ 所以f(x)min=27.‎ 答案:27‎ ‎7.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最大值为________,最小值为________.‎ 解析:f′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).‎ 令f′(x)=0,得x=1(e-x>0),‎ 当x>1时,f′(x)<0,‎ 当x<1时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,‎ ‎∴f(x)max=f(1)=.‎ 又∵f(0)=0,f(4)=>0,‎ 7‎ ‎∴f(x)min=0.‎ 答案: 0‎ ‎8.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.‎ 解析:∵f′(x)=3x2-3,‎ ‎∴当x>1或x<-1时,f′(x)>0;‎ 当-1<x<1时,f′(x)<0.‎ ‎∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.‎ ‎∴f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.‎ 又∵f(0)=-a,f(3)=18-a,∴f(0)<f(3).‎ ‎∴f(x)max=f(3)=18-a=m,‎ ‎∴m-n=18-a-(-2-a)=20.‎ 答案:20‎ ‎9.已知k为实数,f(x)=(x2-4)(x+k).‎ ‎(1)求导函数f′(x);‎ ‎(2)若x=-1是函数f(x)的极值点,求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.‎ 解:(1)∵f(x)=x3+kx2-4x-4k,‎ ‎∴f′(x)=3x2+2kx-4.‎ ‎(2)由f′(-1)=0,得k=-.‎ ‎∴f(x)=x3-x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4.‎ 由f′(x)=0,得x=-1或x=.‎ 又f(-2)=0,f(-1)=,f=-,f(2)=0,‎ ‎∴f(x)在区间[-2,2]上的最大值为,最小值为-.‎ ‎10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.‎ 解:(1)依题意可知点P(1,f(1))为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f(1)=3×1+1=4,‎ ‎∴f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2,‎ 7‎ 又由f(x)=x3+ax2+bx+5得,‎ 又f′(x)=3x2+2ax+b,‎ 而由切线y=3x+1的斜率可知f′(1)=3,‎ ‎∴3+‎2a+b=3,即‎2a+b=0,‎ 由解得 ‎∴a=2,b=-4.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,‎ f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),‎ 令f′(x)=0,得x=或x=-2.‎ 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:‎ x ‎-3‎ ‎(-3,-2)‎ ‎-2‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎8‎  极大值  极小值  ‎4‎ ‎∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f=,‎ 又f(-3)=8,f(1)=4,‎ ‎∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.‎ B级——高考能力达标 ‎1.函数f(x)=x4-4x(|x|<1)(  )‎ A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 解析:选D f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1)且1∉(-1,1),∴该方程无解,故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.‎ ‎2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为(  )‎ A.[0,1)         B.(0,1)‎ C.(-1,1) D. 解析:选B ∵f′(x)=3x2-‎3a,令f′(x)=0,可得a=x2,又∵x∈(0,1),∴0<a<1,故选B.‎ 7‎ ‎3.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为(  )‎ A.-10 B.-71‎ C.-15 D.-22‎ 解析:选B f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f′(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71.‎ ‎4.已知当x∈时,函数f(x)=tx-sin x(t∈R)的值恒小于零,则t的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A f(x)=tx-sin x<0在x∈内恒成立,即t<在内恒成立,‎ 令g(x)=,则g′(x)=.‎ 令φ(x)=xcos x-sin x,则φ′(x)=-xsin x,‎ 当x∈时,φ′(x)<0,∴φ(x)在上单调递减,‎ ‎∴φ(x)<φ(0)=0,∴sin x>xcos x,∴g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)在内单调递减,∴t≤=.‎ ‎5.已知函数f(x)=x+cos x,x∈,当f(x)取得最大值时,x的值为________.‎ 解析:由题意知f′(x)=1-sin x≥0恒成立,‎ 所以f(x)=x+cos x在上是增函数.‎ 所以当x=时,f(x)取得最大值.‎ 答案: ‎6.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a=________.‎ 解析:f′(x)=-2x-2,令f′(x)=0,得x=-1,∴‎ 7‎ 函数在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.若a>-1,则最大值为f(a)=-a2-‎2a+3=,解得a=-;若a≤-1,则最大值为f(-1)=-1+2+3=4≠.综上知,a=-.‎ 答案:- ‎7.已知a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).若对任意x∈[-2,1],不等式f(x)<32恒成立,求a的取值范围.‎ 解:因为f(x)=ax(x2-4x+4)=ax3-4ax2+4ax.‎ 所以f′(x)=3ax2-8ax+‎4a=a(3x2-8x+4)‎ ‎=a(3x-2)(x-2).‎ 令f′(x)=0,得x=或x=2(舍去),‎ 当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ 故f(x)的最大值为f=a<32,即a<27.‎ 所以0f(1)=a.‎ 所以f(x)的最大值为f(-2)=-‎32a<32,即a>-1.‎ 所以-10.‎ ‎(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;‎ ‎(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.‎ 解:(1)f′(x)=-=.‎ 因为f(x)在x=1处取得极值,‎ 故f′(1)=0,解得a=1.‎ ‎(2)由(1)知,f′(x)=,‎ 因为x≥0,a>0,故ax+1>0,1+x>0.‎ 当a≥2时,在区间[0,+∞)上f′(x)≥0恒成立,‎ 7‎ 故f(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ 则f(x)的最小值为f(0)=1.‎ 当00,解得x> ;‎ 由f′(x)<0,解得x< .则f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,+∞.‎ 故f(x)在x=处取得最小值,‎ 又f