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- 2021-06-19 发布
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2009年江西省高考数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
2. 函数y=ln(x+1)-x2-3x+4的定义域为( )
A.(-4, -1) B.(-4, 1) C.(-1, 1) D.(-1, 1]
3. 已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为( )
A.mn B.m+n C.n-m D.m-n
4. 若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值是( )
A.1 B.2 C.3+1 D.3+2
5. 设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为( )
A.4 B.-14 C.2 D.-12
6. 过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60∘,则椭圆的离心率为( )
A.22 B.33 C.12 D.13
7. (1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )
A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6
C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5
8. 数列{an}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3),其前n项和为Sn,则S30为( )
A.470 B.490 C.495 D.510
9. 如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为( )
A.O-ABC是正三棱锥 B.直线OB // 平面ACD
C.直线AD与OB所成的角是45∘ D.二面角D-OB-A为45∘
10. 为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该食品5袋,能获奖的概率为( )
A.3181 B.3381 C.4881 D.5081
11. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ1,τ2,τ3,τ4,则下列关系中正确的为( )
A.τ1>τ4>τ3>τ2 B.τ3>τ4>τ1>τ2 C.τ4>τ2>τ3>τ1 D.τ3>τ2>τ4>τ1
12. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)的定义域为D,若所有点(s, f(t)(s, t∈D)构成一个正方形区域,则a的值为( )
A.-2 B.-4 C.-8 D.不能确定
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上
13. 已知向量a→=(3, 1),b→=(1, 3),c→=(k, 7),若(a→-c→) // b→,则k=________.
第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页
14. 正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球,若A,B两点的球面距离为π,则正三棱柱的体积为________.
15. 若不等式9-x2≤k(x+2)-2的解集为区间[a, b],且b-a=2,则k=________.
16. 设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:
A.M中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P不在M中的任一条直线上
C.对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上
D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).
三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17. 设函数f(x)=exx,
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,求不等式f'(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.
18. 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”,则给予10万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令ξ表示该公司的资助总额.
(1)写出ξ的分布列;
(2)求数学期望Eξ.
19. △ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB,sin(B-A)=cosC.
(1)求A,C;
(2)若S△ABC=3+3,求a,c.
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20. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小;
(3)求点N到平面ACM的距离.
21. 已知点P1(x0, y0)为双曲线x28b2-y2b2=1(b为正常数)上任一点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为A,连接F2A并延长交y轴于P2.
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x1, y1)(y1≠0),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.
22. 各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).
(1)当a=12,b=45时,求通项an;
(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有1λ≤an≤λ.
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参考答案与试题解析
2009年江西省高考数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
2.C
3.D
4.B
5.A
6.B
7.D
8.A
9.B
10.D
11.C
12.B
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上
13.5
14.8
15.2
16.BC
三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.解:(1)∵ f(x)=exx
∴ f'(x)=-1x2ex+1xex=x-1x2ex
由f'(x)=0,得x=1,
因为当x<0时,f'(x)<0;
当01时,f'(x)>0;
所以f(x)的单调增区间是:[1, +∝);单调减区间是:(-∞, 0), (0, 1]
(2)由f'(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx2x2ex=(x-1)(-kx+1)x2ex>0,
得:(x-1)(kx-1)<0,
故:当01时,解集是:{x|1k0),则在定义域上有f(x)≥g(a)=11+a,a>112,a=1a1+a,0
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