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  • 2021-06-19 发布

2009年江西省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年江西省高考数学试卷(理科)‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若复数z=‎(x‎2‎-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )‎ A.‎-1‎ B.‎0‎ C.‎1‎ D.‎-1‎或‎1‎ ‎2. 函数y=‎ln(x+1)‎‎-x‎2‎-3x+4‎的定义域为(        )‎ A.‎(-4, -1)‎ B.‎(-4, 1)‎ C.‎(-1, 1)‎ D.‎‎(-1, 1]‎ ‎3. 已知全集U=A∪B中有m个元素,‎(‎∁‎UA)∪(‎∁‎UB)‎中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为( )‎ A.mn B.m+n C.n-m D.‎m-n ‎4. 若函数f(x)=(1+‎3‎tanx)cosx,0≤x<‎π‎2‎,则f(x)‎的最大值是( )‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎+1‎ D.‎‎3‎‎+2‎ ‎5. 设函数f(x)=g(x)+‎x‎2‎,曲线y=g(x)‎在点(‎1, g(1)‎)处的切线方程为y=2x+1‎,则曲线y=f(x)‎在点(‎1, f(1)‎)处切线的斜率为( )‎ A.‎4‎ B.‎-‎‎1‎‎4‎ C.‎2‎ D.‎‎-‎‎1‎‎2‎ ‎6. 过椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左焦点F‎1‎作x轴的垂线交椭圆于点P,F‎2‎为右焦点,若‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎60‎‎∘‎,则椭圆的离心率为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎7. ‎(1+ax+by‎)‎n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为‎243‎,不含y的项的系数的绝对值的和为‎32‎,则a,b,n的值可能为( )‎ A.a=2‎,b=-1‎,n=5‎ B.a=-2‎,b=-1‎,‎n=6‎ C.a=-1‎,b=2‎,n=6‎ D.a=1‎,b=2‎,‎n=5‎ ‎8. 数列‎{an}‎的通项an‎=n‎2‎(cos‎2‎nπ‎3‎-sin‎2‎nπ‎3‎)‎,其前n项和为Sn,则S‎30‎为( )‎ A.‎470‎ B.‎490‎ C.‎495‎ D.‎‎510‎ ‎9. 如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为( )‎ A.O-ABC是正三棱锥 B.直线OB // ‎平面ACD C.直线AD与OB所成的角是‎45‎‎∘‎ D.二面角D-OB-A为‎45‎‎∘‎ ‎10. 为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了‎3‎种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐‎3‎种卡片可获奖,现购买该食品‎5‎袋,能获奖的概率为( )‎ A.‎31‎‎81‎ B.‎33‎‎81‎ C.‎48‎‎81‎ D.‎‎50‎‎81‎ ‎11. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为τ‎1‎,τ‎2‎,τ‎3‎,τ‎4‎,则下列关系中正确的为( )‎ A.τ‎1‎‎>τ‎4‎>τ‎3‎>‎τ‎2‎ B.τ‎3‎‎>τ‎4‎>τ‎1‎>‎τ‎2‎ C.τ‎4‎‎>τ‎2‎>τ‎3‎>‎τ‎1‎ D.‎τ‎3‎‎>τ‎2‎>τ‎4‎>‎τ‎1‎ ‎12. 设函数f(x)=ax‎2‎+bx+c(a<0)‎的定义域为D,若所有点‎(s, f(t)(s, t∈D)‎构成一个正方形区域,则a的值为( )‎ A.‎-2‎ B.‎-4‎ C.‎-8‎ D.不能确定 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上 ‎13. 已知向量a‎→‎‎=(3, 1)‎,b‎→‎‎=(1, 3)‎,c‎→‎‎=(k, 7)‎,若‎(a‎→‎-c‎→‎) // ‎b‎→‎,则k=‎________.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎14. 正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎内接于半径为‎2‎的球,若A,B两点的球面距离为π,则正三棱柱的体积为________.‎ ‎15. 若不等式‎9-‎x‎2‎‎≤k(x+2)-‎‎2‎的解集为区间‎[a, b]‎,且b-a=2‎,则k=‎________.‎ ‎16. 设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)‎,对于下列四个命题:‎ A.M中所有直线均经过一个定点 B.存在定点P不在M中的任一条直线上 C.对于任意整数n(n≥3)‎,存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17. 设函数f(x)=‎exx,‎ ‎(1)求函数f(x)‎的单调区间;‎ ‎(2)若k>0‎,求不等式f'(x)+k(1-x)f(x)>0‎的解集.‎ ‎18. 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是‎1‎‎2‎.若某人获得两个“支持”,则给予‎10‎万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予‎5‎万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令ξ表示该公司的资助总额.‎ ‎(1)写出ξ的分布列;‎ ‎(2)求数学期望Eξ.‎ ‎19. ‎△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=‎sinA+sinBcosA+cosB,sin(B-A)=cosC.‎ ‎(1)求A,C;‎ ‎(2)若S‎△ABC‎=3+‎‎3‎,求a,c.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎20. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥‎平面ABCD,PA=AD=4‎,AB=2‎.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N ‎(1)求证:平面ABM⊥‎平面PCD;‎ ‎(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小;‎ ‎(3)求点N到平面ACM的距离.‎ ‎21. 已知点P‎1‎‎(x‎0‎, y‎0‎)‎为双曲线x‎2‎‎8‎b‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎(b为正常数)上任一点,F‎2‎为双曲线的右焦点,过P‎1‎作右准线的垂线,垂足为A,连接F‎2‎A并延长交y轴于P‎2‎.‎ ‎(1)求线段P‎1‎P‎2‎的中点P的轨迹E的方程;‎ ‎(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点Q(x‎1‎, y‎1‎)(y‎1‎≠0)‎,直线QB,QD分别交y轴于M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.‎ ‎22. 各项均为正数的数列‎{an}‎,a‎1‎‎=a,a‎2‎‎=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有am‎+‎an‎(1+am)(1+an)‎‎=‎ap‎+‎aq‎(1+ap)(1+aq)‎.‎ ‎(1)当a=‎1‎‎2‎,b=‎‎4‎‎5‎时,求通项an;‎ ‎(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ,使得对于每个正整数n,都有‎1‎λ‎≤an≤λ.‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年江西省高考数学试卷(理科)‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.D ‎4.B ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.A ‎9.B ‎10.D ‎11.C ‎12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上 ‎13.‎‎5‎ ‎14.‎‎8‎ ‎15.‎‎2‎ ‎16.BC 三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ‎17.解:(1)∵ ‎f(x)=‎exx ‎∴ ‎f'(x)=-‎1‎x‎2‎ex+‎1‎xex=‎x-1‎x‎2‎ex 由f‎'‎‎(x)=0‎,得x=1‎,‎ 因为当x<0‎时,f‎'‎‎(x)<0‎;‎ 当‎01‎时,f‎'‎‎(x)>0‎;‎ 所以f(x)‎的单调增区间是:‎‎[1, +∝);单调减区间是:(-∞, 0), (0, 1]‎ ‎(2)由f‎'‎‎(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx‎2‎x‎2‎ex=‎(x-1)(-kx+1)‎x‎2‎ex>0‎,‎ 得:‎(x-1)(kx-1)<0‎,‎ 故:当‎01‎时,解集是:‎{x|‎1‎k0)‎,则在定义域上有f(x)≥g(a)=‎‎1‎‎1+a‎,‎a>1‎‎1‎‎2‎‎,‎a=1‎a‎1+a‎,‎‎0