江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题 17页

南京市2018届高三年级第三次模拟考试 ‎ 数 学 2018.05‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．集合A＝{x| x2＋x－6＝0}，B＝{x| x2－4＝0}，则A∪B=．‎ ‎2．已知复数z的共轭复数是．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则的模为．‎ S←1‎ I←1‎ While　I＜8‎ ‎ S←S＋2‎ ‎ I←I＋3‎ End While ‎(第4题图)‎ Print S ‎3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为．‎ ‎(第3题图)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为．‎ ‎5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为．‎ ‎6．若实数x，y满足则的取值范围为．‎ ‎7. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：‎ ①若l⊥α，l⊥β，则α∥β； ②若l⊥α，α⊥β，则l∥β； ‎ ③若l∥α，l⊥β，则α⊥β； ④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．‎ 其中真命题为（填所有真命题的序号）．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为．‎ ‎9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为．‎ ‎10．若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝则f(a+1)的值为．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为．‎ ‎12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若·＝5， ·＝－，则·的值为．‎ ‎13．若正数a，b，c成等差数列，则＋的最小值为．‎ ‎14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f (x)＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．‎ ‎（1）求cos2α的值；‎ Q P ‎（2）求2α－β的值.‎ x O ‎(第15题图)‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎(第16题图)‎ A C B M D E P 如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点．‎ ‎（1）求证: 平面PBC⊥平面ABC；‎ ‎（2）若PD∥平面AEM，求PM的长．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ F ‎ E ‎(第17题图)‎ 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，∠A为．若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC. 记∠CBD＝θ（≤θ＜）．‎ ‎（1）试用θ表示BD的长；‎ ‎（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P(，)，离心率为. 已知过点M(，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ x y O ‎(第18题图)‎ M B A ‎（2）试问x轴上是否存在定点N，使得·为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知函数f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．‎ ‎（1）若f (x)的极大值为0，求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g (x)＝f (x)＋6x，求g (x)在[0，1]上取到最大值时x的值；‎ ‎（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 若数列{an}满足：对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T 数列”．‎ ‎ （1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“T 数列”；‎ ‎ （2）若公差为d的等差数列{an}为“T 数列”，求d的取值范围；‎ ‎（3）若数列{an}为“T 数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜a－a＜an＋1，求数列{an}的通项公式．‎ 南京市2018届高三年级第三次模拟考试 ‎ 数学附加题 2018.05‎ 注意事项：‎ ‎1．附加题供选修物理的考生使用．‎ ‎2．本试卷共40分，考试时间30分钟．‎ ‎3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 C A B M N ‎(第21A题图)‎ 在△ABC中， AC＝AB，M为边AB上一点，△AMC的外接圆交BC边于点N，BN＝2AM，‎ 求证：CM是∠ACB的平分线．‎ ‎ ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，B＝，若直线l: x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在极坐标系中，已知圆C经过点P（2，），圆心C为直线rsin(θ－)＝－与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出 ‎ ‎ 文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF＝2．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若M，N为抛物线C上异于A的两点，且AM⊥AN．记点M，N到直线y＝－2的距离分别为d1，d2，求d1d2的值．‎ ‎·‎ F ‎(第22题图)‎ x y O A M N ‎23．(本小题满分10分)‎ 已知fn(x)＝Ax(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝A＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中x∈R，n∈N*且n≥2．‎ ‎（1）若fn(1)＝7gn(1)，求n的值；‎ ‎（2）对于每一个给定的正整数n，求关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合．‎ ‎ ‎ 南京市2018届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．{－3，－2，2} 2． 3．150 4．7 5． 6．[，2] 7． ①③ ‎ ‎8． 9．4 10．2 11．x＋2y－4＝0 12．－3 13． 14．[e，4e]‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，‎ 所以cosα＝， ………………………………2分 所以cos2α＝2cos2α－1＝． ………………………………4分 ‎（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝． ………………………………6分 ‎ 又因为β为锐角，所以cosβ＝． ………………………………8分 因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，‎ 因此sin2α＝2sinαcosα＝， ……………………………10分 所以sin(2α－β) ＝ ×－×＝． ……………………………12分 因为α为锐角，所以0＜2α＜π．‎ 又cos2α＞0，所以0＜2α＜，‎ 又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝． …………………………………14分 ‎16．(本小题满分14分)‎ ‎(图1)‎ O C B P A C B M D E ‎（1）证明：如图1，连结PE．‎ 因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，‎ 所以PE⊥BC， ……………………2分 且PE＝，同理AE＝．‎ 因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分 因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC Ì平面ABC，‎ 所以PE ⊥平面ABC． ‎ 因为PEÌ平面PBC，‎ 所以平面PBC⊥平面ABC． ……………………7分 ‎（2）解法一 如图1，连接CD交AE于O，连接OM．‎ 因为PD∥平面AEM，PDÌ平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，‎ 所以PD∥OM， ……………………………………9分 所以＝． ……………………………………11分 因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，‎ 所以O为DABC重心，所以＝，‎ 所以PM＝PC＝． …………………………………14分 ‎(图2)‎ P A C B M D E C B N ‎ 解法二 如图2，取BE的中点N，连接PN．‎ 因为D，N分别为AB，BE的中点，‎ 所以DN∥AE．‎ 又DNË平面AEM，AEÌ平面AEM，‎ 所以DN∥平面AEM． ‎ 又因为PD∥平面AEM，DNÌ平面PDN，PDÌ平面PDN，DN∩PD＝D，‎ 所以平面PDN∥平面AEM． ………………………………9分 又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，‎ 所以ME∥PN，所以＝． ………………………………11分 因为E，N分别为BC，BE的中点，‎ 所以＝，所以PM＝PC＝． ………………………………14分 ‎17．(本小题满分14分)‎ 解：（1）连结DC．‎ 在△ABC中，AC为‎2百米，AC⊥BC，∠A为，‎ 所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2． ………………………………2分 因为BC为直径，所以∠BDC＝，‎ 所以BD＝BC cosθ＝2cosθ． ………………………………4分 ‎（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cosθ，‎ 所以＝＝， ‎ 所以DF＝4cosθsin(＋θ)， ………………………………6分 且BF＝4cosθ，所以DE＝AF=4－4cosθ， ………………………………8分 所以DE＋DF＝4－4cosθ＋4 cosθsin(＋θ)=sin2θ－cos2θ＋3‎ ‎＝2 sin(2θ－)＋3． …………………………………12分 因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，‎ 所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合． ……………13分 答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分 ‎18．(本小题满分16分)‎ 解（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝＝a， …………………………………2分 所以椭圆C的方程为＋＝1．‎ 因为椭圆C经过点P(，)，所以＋＝1，‎ 所以b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1． …………………………………4分 ‎（2）解法一 设N(n，0)，‎ 当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，‎ 则×＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－， …………………………………6分 当l经过左､右顶点时，×＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．‎ 令n2－n－＝n2－4，得n＝4． ……………………………………8分 ‎ 下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有×＝12．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0， ‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝， …………………………………10分 所以×＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2‎ ‎＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2 …………………………………12分 ‎ ‎＝(k2＋1)－(4＋k2)＋16＋k2‎ ‎＝＋16‎ ‎＝＋16＝12． ‎ 所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得×为定值． …………………………………16分 解法二 设N(n，0)，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0， ‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝， …………………………………6分 所以×＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(x1－n)(x2－n)＋k2(x1－)(x2－)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2－(n＋k2)(x1＋x2)＋n2＋k2‎ ‎＝(k2＋1)－(n＋k2)＋n2＋k2 ……………………………………8分 ‎＝＋n2‎ ‎＝＋n2． ……………………………………12分 若×为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，‎ 则(－n－)k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立， ‎ 所以所以n＝4，λ＝－4， ‎ 此时×＝12． ……………………………………14分 当直线l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，‎ 所以×＝(－4)2－y2＝(－4)2－＝12，‎ 所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得×为定值． ………………………………16分 ‎19．(本小题满分16分)‎ 解：（1）因为f (x)＝2x3－3ax2＋‎3a－2（a＞0），‎ 所以f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)． ‎ 令f'(x)＝0，得x＝0或a． ………………………………2分 当x∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；‎ 当x∈(0，a)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．‎ 故f (x)极大值＝f (0)＝‎3a－2＝0，解得a＝． ………………………………4分 ‎（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋‎3a－2（a＞0），‎ ‎ 则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．‎ ‎①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，‎ 所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，‎ 则g (x)取得最大值时x的值为1． ……………………………6分 ‎②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，‎ ‎ 所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．‎ 当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，‎ 当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，‎ 则g (x)取得最大值时x的值为x0＝． ………………………………8分 综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；‎ 当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为． ……………………………9分 ‎（3）设h (x)＝f (x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋‎3a－2，‎ 则h (x)≥0在[，]有解． ………………………………10分 h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－)2－]，‎ 因为h′(x)在(，)上单调递减，所以h′(x)＜h′()＝－a2＜0，‎ 所以h (x)在(，)上单调递减，‎ 所以h()≥0，即a3－‎3a2－‎6a＋4≤0． …………………………………12分 设t (a)＝a3－‎3a2－‎6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝‎3a2－‎6a－6， ‎ 当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；‎ 当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．‎ 因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)， …………………14分 因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，‎ 所以t (a)≤0的解集为[m，n]，‎ 故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分 ‎20．(本小题满分16分)‎ 解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，‎ ‎ 又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2． …………………………………2分 ‎ 所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{an}的第n＋1项，‎ ‎ 因此数列{an}为“T 数列”． …………………………………4分 ‎ （2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎ 所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．‎ ‎ 因为数列{an}为“T 数列”，‎ ‎ 所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝am，即有(m－n) d＝|d|．…………6分 ‎ ①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，‎ ‎ ②若d＜0，则m＝n－1．‎ 此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．‎ ‎ 综上，d≥0． ……………………………………8分 ‎ （3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．‎ ‎ 又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，‎ ‎ 所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，‎ ‎ 所以数列{an}为等差数列． …………………………………10分 ‎ 设数列{an}的公差为t(t＞0)，则有an＝1＋(n－1)t，‎ ‎ 由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，………………………………12分 ‎ 整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ① ‎ n(t－2t2)＞2t－t2－1． ② ‎ ‎ 若2t2－t＜0，取正整数N0＞，‎ 则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，‎ 因此2t2－t≥0．‎ 同样根据②式可得t－2t2≥0，‎ 所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．‎ 经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，‎ ‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)＝． ………………………………16分 南京市2018届高三年级第三次模拟考试 ‎ 数学附加题参考答案及评分标准 2018.05 ‎ 说明：‎ ‎1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，填空题不给中间分数．‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结MN，则∠BMN＝∠BCA， ………………………………2分 又∠MBN＝∠CBA，因此△MBN∽△CBA． ………………………………4分 所以＝ ． ………………………………6分 又因为AC＝AB，所以＝2，即BN＝2MN． ………………………………8分 又因为BN＝2AM，所以AM＝MN， ‎ 所以CM是∠ACB的平分线． ………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：因为A＝，B＝，所以AB＝． ………………………………4分 设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．‎ 因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0． ①‎ 由AB＝，即 ＝，‎ 得 ………………………………6分 即②‎ 将②代入①得x－4y＋4＝0，‎ 所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0． ………………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：解法一 在直线rsin(θ－)＝－中，令θ＝0，得r＝2. ‎ 所以圆C的圆心坐标为C(2，0)． ………………………………4分 因为圆C经过点P(2，)，‎ 所以圆C的半径PC＝＝2， ……………………………6分 所以圆C的极坐标方程r＝4cosθ． ……………………………10分 解法二 以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，‎ 则直线方程为y＝x－2，P的直角坐标为(1，)， ‎ 令y＝0，得x＝2，所以C(2，0)， ………………………………4分 所以圆C的半径PC＝=2， ………………………………6分 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即x2＋y2－4x＝0， ………………………………8分 所以圆C的极坐标方程r＝4cosθ. ……………………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 解：因为(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，‎ 即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)． ……………………………4分 因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9， ……………………………6分 所以＋＋≤3，‎ 当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立． ‎ 所以＋＋的最大值为3. ……………………………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，‎ ‎ 所以＋1＝2，所以p＝2. ……………………………3分 ‎（2）解法一 由(1)得抛物线方程为y2＝4x．‎ 因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2． ……………………………4分 设直线AM方程为x－1＝m (y－2) (m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由消去x，得y2－4m y＋8m－4＝0，‎ 即(y－2)( y－4m＋2)＝0，所以y1＝4m－2． ……………………………6分 因为AM⊥AN，所以－代m，得y2＝－－2， ……………………………8分 所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝|4m×(－)|＝16． ……………………………10分 解法二 由(1)得抛物线方程为y2＝4x．‎ 因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2． ……………………………4分 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则·＝(x1－1)(x2－1)＋( y1－2) (y2－2)＝0． ……6分 又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在y2＝4x上，‎ 所以(y21－4) (y22－4)＋16( y1－2) (y2－2)＝0， ‎ 即[( y1＋2) (y2＋2)＋16]( y1－2) (y2－2)＝0．‎ 因为( y1－2) (y2－2)≠0，所以( y1＋2) (y2＋2)＝－16， ……………………………8分 所以d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|＝16． ……………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）因为fn(x)＝Ax(x＋1)…(x＋i－1)，‎ 所以fn(1)＝A×1×…×i＝n!＝(n－1)×n!，gn(1)＝A＋1×2×…×n＝2×n!，‎ ‎ 所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15． ……………………………3分 ‎ （2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，‎ ‎ f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，‎ ‎ 猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)． ……………………………5分 ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎ 当n＝2时，命题成立；‎ ‎ 假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即fk(x)＋gk(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，‎ 因为fk＋1(x)＝Ax(x＋1)…(x＋i－1)‎ ‎ ＝(k＋1)Ax(x＋1)…(x＋i－1)＋Ax(x＋1)…(x＋k－1)‎ ‎ ＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)，‎ ‎ 所以fk＋1(x)＋gk＋1(x)＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)＋A＋x(x＋1)…(x＋k)‎ ‎ ＝(k+1)[ fk(x)＋x(x＋1)…(x＋k－1)＋A]＋x(x＋1)…(x＋k)‎ ‎ ＝(k+1)[ fk(x)＋gk(x)]＋x(x＋1)…(x＋k)‎ ‎ ＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)‎ ‎ ＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，‎ ‎ 即n＝k＋1时命题也成立． ‎ 因此任意n∈N*且n≥2，有fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)． …………………9分 ‎ 所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合为 ‎{－1，－2，…，－n}． ……………………………10分