高考数学二轮复习教案：仿真模拟卷一 14页

仿真模拟卷 仿真模拟卷一 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(　　)‎ A．A∪B＝{x|x>1} B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x<0} D．A∩B＝∅‎ 答案　C 解析　集合B＝{x|3x<1}，即B＝{x|x<0}，而A＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x<1}，A∩B＝{x|x<0}．‎ ‎2．记复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A. B．1 C．2 D．2‎ 答案　A 解析　由(1－i)＝2i，可得＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i，|z|＝.‎ ‎3．设a＝ln，b＝20.3，c＝2，则(　　)‎ A．a1，又00，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则使f(a＋x)－f(a－x)＝0成立的a的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由图象易知，A＝2，f(0)＝1，即2sinφ＝1，且|φ|<，即φ＝，由图可知，f＝0，所以sin＝0，所以·ω＋＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又由图可知，周期T>⇒>，得ω<，且ω>0，所以k＝1，ω＝2，所以函数f(x)＝2sin，因为f(a＋x)－f(a－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于x＝a对称，即有2a＋＝kπ＋，k∈Z，所以可得a＝＋，k∈Z，所以a的最小正值为.‎ ‎9．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ 答案　C 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.‎ ‎10．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于(　　)‎ A．66 B．132 C．－66 D．－132‎ 答案　D 解析　因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，S11＝＝＝－132.‎ ‎11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知等腰△ABP中，|AB|＝|AP|＝2a，设∠ABP＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，‎ 则∠F1AP＝2θ，其中θ必为锐角．‎ ‎∵△ABP外接圆的半径为a，∴2a＝，‎ ‎∴sinθ＝，cosθ＝，‎ ‎∴sin2θ＝2××＝，‎ cos2θ＝2×2－1＝.‎ 设点P的坐标为(x，y)，‎ 则x＝－a－|AP|cos2θ＝－，y＝|AP|sin2θ＝，‎ 故点P的坐标为.‎ 由点P在双曲线上，得－＝1，‎ 整理得＝，∴e＝＝ ＝.‎ ‎12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f(x)有如下四个命题：‎ ‎①f[f(x)]＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0.∴当x为有理数时，f[f(x)]＝f(1)＝1；当x为无理数时，f[f(x)]＝f(0)＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f[f(x)]＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，‎ ‎∴对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故②正确；当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝，x2＝0，x3＝－，f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，∴A，B(0,1)，C，△ABC恰好为等边三角形，故④正确，故选C.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知x，y满足约束条件x，y∈R，则x2＋y2的最大值为________．‎ 答案　8‎ 解析　画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方．‎ 由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又|OA|＝|OB|＝2，∴(x2＋y2)max＝8.‎ ‎14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________．‎ 答案　2 解析　设AB＝AC＝AA1＝x，在△ABC中，∠BAC＝120°，则由余弦定理可得BC＝x.‎ 由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r＝x，‎ 又∵球的表面积是40π，∴球的半径为R＝.‎ 设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有2＋x2＝10，解得x＝2，即AA1＝2.∴直三棱柱的高是2.‎ ‎15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．‎ 答案　 解析　由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，而S梯形EFOH＝S△DOF＝×S正方形ABDF＝S正方形ABDF，‎ ‎∴所求的概率为P＝＝.‎ ‎16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为________．‎ 答案　Sn＝3n－2n 解析　∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，‎ ‎∴Sn＋1＝2Sn＋3n，‎ ‎∴＝·＋，∴－1＝，‎ 又－1＝－1＝－，‎ ‎∴数列是首项为－，公比为的等比数列，‎ ‎∴－1＝－×n－1＝－n，‎ ‎∴Sn＝3n－2n.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)．‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解　(1)∵bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ sinBcosA＝sinA(sinAcosC＋sinCcosA)‎ ‎＝sinAsin(A＋C)＝sinAsinB，‎ 即sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴tanA＝，‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)∵A＝，a＝2，△ABC的面积为，‎ ‎∴bcsinA＝bc＝，∴bc＝5，‎ ‎∴由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 即12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－15，‎ 解得b＋c＝3，‎ ‎∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＝5.‎ ‎18．(本小题满分12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.‎ ‎(1)求证：BF∥平面ADE；‎ ‎(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；‎ ‎(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．‎ 解　依题意，可以建立以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，‎ B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，‎ E(0,0,2)．设CF＝h(h>0)，‎ 则F(1,2，h)．‎ ‎(1)证明：依题意，＝(1,0,0)是平面ADE的法向量，又＝(0,2，h)，可得·＝0，又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.‎ ‎(2)依题意，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1，－2,2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则 即不妨令z＝1，‎ 可得n＝(2,2,1)．‎ 因此有cos〈，n〉＝＝－.‎ 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.‎ ‎(3)设m＝(x′，y′，z′)为平面BDF的法向量，‎ 则即 不妨令y＝1，可得m＝.‎ 由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，‎ 解得h＝.经检验，符合题意．‎ 所以线段CF的长为.‎ ‎19．(本小题满分12分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.‎ ‎(1)求p的值及抛物线的准线方程；‎ ‎(2)求的最小值及此时点G的坐标．‎ 解　(1)由题意得＝1，即p＝2.‎ 所以抛物线的准线方程为x＝－1.‎ ‎(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t,2t≠0，则xA＝t2.‎ 由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，‎ 故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.‎ 又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，得 C，G.‎ 所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，‎ 得Q(t2－1,0)．‎ 由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而 ＝ ‎＝ ‎＝＝2－.‎ 令m＝t2－2，则m>0，‎ ＝2－＝2－ ‎≥2－＝1＋.‎ 当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．‎ ‎20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R.‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)＝xf(x)的极值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围．‎ 解　(1)由函数f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，‎ 即me－x－(－x)2＋3＝mex－x2＋3对于任意实数x都成立，所以m＝0.‎ 此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3.‎ 由h′(x)＝0，解得x＝±1.‎ 当x变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示：‎ 所以h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．‎ 所以h(x)有极小值h(－1)＝－2，极大值h(1)＝2.‎ ‎(2)由f(x)＝mex－x2＋3＝0，得m＝.‎ 所以“f(x)在区间[－2,4]上有两个零点”等价于“直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点”．‎ 对函数g(x)求导，得g′(x)＝.‎ 由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.‎ 当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：‎ 所以g(x)在(－2，－1)，(3,4)上单调递减，在(－1,3)上单调递增．‎ 又因为g(－2)＝e2，g(－1)＝－2e，g(3)＝g(－1)，‎ 所以当－2e