2012年重庆高考试题（文数解析版） 10页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学（文科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎（1）命题“若p则q”的逆命题是 ‎（A）若q则p （B）若p则 q ‎（C）若则 （D）若p则 ‎（2）不等式 的解集是为 ‎（A） （B） （C）（-2，1）（D）∪‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：‎ ‎【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．‎ ‎（3）设A，B为直线与圆 的两个交点，则 ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：直线过圆的圆心 则2‎ ‎【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题．‎ ‎（4） 的展开式中的系数为 ‎（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270‎ ‎（5）‎ ‎（A）（B）（C） （D）‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：‎ ‎【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用 ‎（6）设 ，向量且 ，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：‎ ‎（7）已知，，则a,b,c的大小关系是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：，‎ ‎，则 ‎【考点定位】本题考查对数函数运算．‎ ‎（8）设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是 ‎【答案】：C ‎【解析】：由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时 ‎【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．‎ ‎（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎【答案】：A ‎ ‎【解析】：，，，‎ ‎【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．．‎ ‎（10）设函数集合 ‎ 则为 ‎（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：由得则或即或 所以或；由得即所以故 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ‎ ‎【答案】：15‎ ‎【解析】：‎ ‎【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式 ‎（12）函数 为偶函数，则实数 ‎ ‎（13）设△的内角 的对边分别为，且，则 ‎ ‎【答案】：‎ ‎（14）设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 ‎ ‎（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。‎ ‎【答案】：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】：：（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 成等比数列，所以 从而 ，即 ‎ 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎17．（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为 ‎（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值． ‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】：：（Ⅰ）因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ，化简得解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，‎ 令 ，得当时，故在上为增函数；‎ 当 时， 故在 上为减函数 当 时 ，故在 上为增函数。‎ 由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为 ‎【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数进行求导，根据=0，，求出a，b的值．（1）根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．‎ ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）‎ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 独立事件同时发生的概率计算公式知 ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为（I）求的解析式； （II）求函数的值域。‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 因，且 ‎ 故 的值域为 ‎（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为 ‎（Ⅱ）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。‎ 因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得 从而 所以在中，由余弦定理得 ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）‎ 已知椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且△是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 作直线交椭圆于，，求△的面积 ‎【答案】：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）‎ ‎， ‎ ‎（*）‎ 设 则 是上面方程的两根，因此 ‎ 又，所以 由 ，知 ，即 ，解得 当 时，方程（*）化为：‎ 故 ，‎ 的面积 当 时，同理可得（或由对称性可得） 的面积 综上所述， 的面积为 。‎