2015届高考数学二轮专题训练：专题三 第1讲 三角函数的图象与性质 16页

第1讲　三角函数的图象与性质 考情解读　1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．‎ ‎1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 ‎(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，‎ tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．‎ ‎2．三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；‎ 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心：‎ ‎(，0)(k∈Z)‎ ‎3.三角函数的两种常见变换 ‎(1)y＝sin x y＝sin(x＋φ) ‎ y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．‎ ‎(2)y＝sin x y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．‎ 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 例1　(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)‎ A．(－，) B．(－，－)‎ C．(－，－) D．(－，)‎ ‎(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．‎ 思维启迪　(1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式．‎ 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)设Q点的坐标为(x，y)，‎ 则x＝cos＝－，y＝sin＝.‎ ‎∴Q点的坐标为(－，)．‎ ‎(2)原式＝＝tan α.‎ 根据三角函数的定义，‎ 得tan α＝＝－，‎ ‎∴原式＝－.‎ 思维升华　‎ ‎(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．‎ ‎　(1)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.‎ ‎(2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)　(2)D 解析　(1)由三角函数定义，‎ 得cos α＝－，sin α＝，‎ ‎∴原式＝＝ ‎＝2cos2α＝2×2＝.‎ ‎(2)tan θ＝＝＝－1，‎ 又sin >0，cos <0，‎ 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.‎ 热点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式 例2　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为(　　)‎ A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(2x－)‎ ‎(2)若函数y＝cos 2x＋sin 2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．‎ 思维启迪　(1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－”即可．‎ ‎(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数．‎ 答案　(1)D　(2)(－2，－1]‎ 解析　(1)由图知，A＝1，＝－，故T＝π＝，‎ 所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，‎ 得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，故φ＝.‎ 则f(x)＝sin(2x＋)向右平移后，‎ 得到y＝sin[2(x－)＋)＝sin(2x－)，选D.‎ ‎(2)由题意可知y＝2sin(2x＋)＋a，‎ 该函数在[0，]上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋)在[0，]上有两个不同的交点．‎ 结合函数的图象可知1≤－a<2，所以－20，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ ‎　(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(　　)‎ A. B. C．8 D．16‎ ‎(2)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．‎ 则M(，－)，由两点间距离公式得，‎ PM＝ ＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，‎ 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，‎ f(x)＝Asin(x－)，‎ 从而f(0)＝Asin(－)＝－8，‎ 得A＝.‎ ‎(2)y＝tan(ωx＋)的图象向右平移，得到y＝tan(ωx＋－)的图象，与y＝tan(ωx＋)重合，得－＝kπ＋，故ω＝－6k＋，k∈Z，‎ ‎∴ω的最小正值为.‎ 热点三　三角函数的性质 例3　设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．‎ 思维启迪　先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)．‎ 解　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a，‎ 则f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．‎ ‎(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，‎ 当2x＋＝，即x＝时sin(2x＋)＝1.‎ 所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.‎ 由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，‎ 故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.‎ 思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．‎ ‎　已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象；若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ 解　(1)由题意得：f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)，‎ 由周期为π，得ω＝1，得f(x)＝2sin(2x－)，‎ 函数的单调增区间为2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin 2x＋1的图象，‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1，‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，‎ 若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.‎ ‎1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间 ‎(1)将ω化为正．‎ ‎(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ ‎2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式 ‎(1)A＝，‎ B＝.‎ ‎(2)由函数的周期T求ω，ω＝.‎ ‎(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．‎ ‎4．求三角函数式最值的方法 ‎(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．‎ ‎(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．‎ ‎5．特别提醒 进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．‎ 真题感悟 ‎1．(2014·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)‎ A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[－，]上单调递减 D．在区间[－，]上单调递增 答案　B 解析　y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π)．‎ 令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin(2x－π)的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.‎ 令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．‎ 画出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的简图，如图，‎ 可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有单调性，‎ 故C，D错误．‎ ‎2．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　∵f(x)在上具有单调性，‎ ‎∴≥－，‎ ‎∴T≥.‎ ‎∵f＝f，‎ ‎∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.‎ 又∵f＝－f，‎ ‎∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.‎ ‎∴T＝－＝，∴T＝π.‎ 押题精练 ‎1．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列哪个区间中是单调的(　　)‎ A．(0，) B．(，)‎ C．(，) D．(，π)‎ 答案　B 解析　∵mn<0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M点在原点时，此时T＝π，则ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x)，在(，)上为减函数，(0，)上为增函数；当图象的最高点在y轴上时，即N点在y轴上，T＝π，ω＝，∴f(x)＝2sin(x)，在(0，)上是减函数，(，π)上为增函数．所以f(x)在(，)上是单调的．‎ ‎2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－ ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)，‎ 由题意知，最小正周期T＝2×＝，‎ T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象，‎ 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，‎ 得到y＝sin(2x－)的图象．‎ 所以g(x)＝sin(2x－)．‎ 令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.‎ g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，‎ 即函数g(t)＝sin t与y＝－k在区间[－，]上有且只有一个交点．如图，‎ 由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.‎ ‎∴－0且|φ|<)在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　依题意知＝－，∴T＝π＝，∴ω＝2，将点(，1)代入y＝sin(2x＋φ)得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，φ＝，故y＝sin(2x＋)，与y轴交点纵坐标为.‎ ‎4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题中图象知＝－，‎ 所以T＝π，所以ω＝2.‎ 则M，N 由·＝0，得＝A2，‎ 所以A＝，所以A·ω＝.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()f()‎ C．f(x)是奇函数 D．f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)‎ 答案　D 解析　由f(x)≤|f()|恒成立知x＝是函数的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又f()0，得φ＝，即f(x)＝sin(2x＋)，‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 即函数的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎6．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案　A 解析　因为A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的五个点，A ‎(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T＝4×(＋)＝π，所以ω＝2，‎ 因为A(－，0)，所以f(－)＝sin(－＋φ)＝0,0<φ<，φ＝.‎ 二、填空题 ‎7．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ 答案　 解析　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，‎ 又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∴φ＝－－(k∈Z)．‎ 当k＝－1时，φ取得最小正值.‎ ‎8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.‎ 答案　 解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，‎ f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)．‎ 函数图象的对称轴为x＝＝.‎ 又x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，‎ ‎∴f(x1＋x2)＝f(2×)＝f()＝sin(2×＋)＝.‎ ‎9．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．‎ 答案　[－，3]‎ 解析　由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，‎ 所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．‎ ‎10．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝‎ sin πxcos πx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增的；‎ ‎④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．‎ 答案　①④‎ 解析　对于①，函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)‎ ‎＝sin(－x)，所以其最小值为－1；‎ 对于②，函数y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数，但其最小正周期为1；‎ 对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；‎ 对于④，由⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．‎ 三、解答题 ‎11．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的解析式；‎ ‎(3)若f(α＋)＝，求sin α.‎ 解　(1)f(x)的最小正周期T＝.‎ ‎(2)由函数的最大值为4，可得A＝4.‎ 所以f(x)＝4sin(3x＋φ)．‎ 当x＝时，4sin(3×＋φ)＝4，‎ 所以sin(＋φ)＝1，‎ 所以φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 所以f(x)的解析式是f(x)＝4sin(3x＋)．‎ ‎(3)因为f(α＋)＝，‎ 故sin(2α＋＋)＝.‎ 所以cos 2α＝，即1－2sin2α＝，‎ 故sin2α＝.所以sin α＝±.‎ ‎12．设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(，1)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在x∈[0，]上的值域．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ，‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－)＝±1，‎ 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0，‎ 即λ＝－2sin(×－)＝－2sin＝－，‎ 即λ＝－.‎ 故f(x)＝2sin(x－)－，‎ ‎∵x∈[0，]，∴x－∈[－，]，‎ ‎∴函数f(x)的值域为[－1－，2－]．‎ ‎ ‎