江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷 5页

江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷 一．填空题 ‎ ‎1.函数的定义域为______.‎ ‎2. 已知复数，,那么=____i_____‎ ‎3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ‎ ‎ ‎4. 已知点在终边上，则＝ 5 ‎ ‎5.已知向量满足，则的夹角为　　　______‎ ‎6. .在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为 (-2,1) 。‎ ‎7. 在等差数列中,,则.13‎ ‎8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ‎__0.75__‎ ‎9. .已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_____3____.‎ ‎10. 设和为不重合的两个平面，给出下列命题： ‎ ‎（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；‎ ‎（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；‎ ‎（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；‎ ‎（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中，正确命题的个数是 2 个 ‎11.△ABC中，，，则的最小值是 .‎ ‎12. 已知直线相离，则以三条边长分别为 所构成的三角形的形状是 钝角三角形 ‎ ‎13. 曲线上的点到原点的距离的最小值为 .‎ ‎14. 设函数,方程f(x)＝x+a有且只有两相不等实数根，则实a的取值范围为 .‎ 二．解答题 ‎15．在锐角中，角、、的对边分别为、、，且满足．‎ ‎（1）求角的大小； （2）设，试求的取值范围．‎ ‎（1）因为，所以，‎ ‎　　　　即 ‎ ‎　　　　而 ，所以．故 ……………………6分 ‎　（2）因为 ‎ ‎ 　 所以 ．‎ ‎ 　　　 由得 所以 ……10分 ‎　 从而 故的取值范围是．……………………14分 ‎16．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；‎ ‎（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；‎ ‎（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．‎ 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，‎ ‎∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．‎ 在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，‎ ‎∴CD＝2，AD＝4．‎ ‎∴SABCD＝‎ ‎．则V＝． ‎ ‎（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，‎ ‎∴AF⊥PC． ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．‎ ‎∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ‎ ‎∵E为PD中点，F为PC中点，‎ ‎∴EF∥CD．则EF⊥PC． ‎ ‎∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．‎ ‎（Ⅲ）证法一：‎ 取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．‎ ‎∵EM 平面PAB，PA平面PAB，‎ ‎∴EM∥平面PAB． ……… 12分 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，‎ ‎∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．‎ ‎∵MC 平面PAB，AB平面PAB，‎ ‎∴MC∥平面PAB． ‎ ‎∵EM∩MC＝M，‎ ‎∴平面EMC∥平面PAB．‎ ‎∵EC平面EMC，‎ ‎∴EC∥平面PAB． ‎ 证法二：‎ 延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．‎ ‎∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，‎ ‎∴C为ND的中点． ……12分 ‎∵E为PD中点，∴EC∥PN．……14分 ‎∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，‎ ‎∴EC∥平面PAB． ‎ ‎17．设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数均成立 ‎（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围。‎ ‎（1）恒成立 ‎（2）“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，即p，q一真一假 故 ‎18．已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点 A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．‎ ‎（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）点A代入圆C方程， 得．∵m＜3，∴m＝1．‎ 圆C：．‎ 设直线PF1的斜率为k，则PF1：，‎ 即．‎ ‎∵直线PF1与圆C相切，∴．‎ 解得． …………………… 4分 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．‎ 当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，‎ ‎∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． …………………… 6分 ‎2a‎＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．‎ 椭圆E的方程为：． …………………… 8分2‎ ‎（Ⅱ），设Q（x，y），，‎ ‎． …………………… 10分 ‎∵，即，‎ 而，∴－18≤6xy≤18． …………………… 12分 则的取值范围是[0，36]． ……… 14分 的取值范围是[－6，6]．‎ ‎∴的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分 ‎19．幂函数y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记 an = | QnQn－1 |‎ ‎（1）求 a1的值； （2）求数列 {an} 的通项公式 an;‎ ‎（3）设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 l∈[0,1]，总存在自然数 k，当 n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－l) (3an－1) 恒成立，求 k 的最小值.‎ ‎(1) 由 P1(t12,t1)（t > 0），… 1分,得 kOP1 = = tan = Þ t1 = ‎∴ P1(,) …………2分 a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | = …………5分 ‎(2) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1的方程为：y－tn = (x－tn2) ‎ 可得 Qn－1(tn2－,0) ‎ 直线 PnQn的方程为：y－tn = －(x－tn2)，可得 Qn(tn2 + ,0) ‎ 所以也有 Qn－1(tn－12 + ,0)，得 tn2－= tn－12 + ，由 tn > 0，得 tn－tn－1 = ‎∴ tn = t1 + (n－1) = n …………8分 ‎∴ Qn(n(n + 1),0),Qn－1(n(n－1),0) ∴ an = | QnQn－1 | = n …………10分 ‎(3) 由已知对任意实数时 l∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－l) (2n－1) 恒成立 ‎ Û 对任意实数 l∈[0,1] 时，(2n－1)l + n 2－4n + 3≥0 恒成立…………12分 则令 f (l) = (2n－1)l + n 2－4n + 3，则 f (l) 是关于 l 的一次函数.‎ Û 对任意实数 l∈[0,1] 时 Û …………14分 ‎ Û n≥3或n≤1 又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值为3…………16分 ‎20. 已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中）；‎ ‎（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．‎ 解：（Ⅰ），，．‎ ‎∴，且． …………………… 2分 解得a＝2，b＝1． …………………… 4分 ‎（Ⅱ），令，‎ 则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．‎ 在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；‎ 当x∈时，，∴h(x)是减函数． …………………… 7分 则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分 即． …………………… 12分 ‎（Ⅲ），．‎ 假设结论成立，则有 ‎①－②，得． ∴．‎ 由④得， ∴．即．即．⑤ …… 14分 令，（0＜t＜1)，‎ 则＞0．∴在0＜t＜1上增函数． ‎ ‎，∴⑤式不成立，与假设矛盾．‎