2020高中数学 第三章函数的单调性与导数 9页

‎3.3.1　‎函数的单调性与导数 学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3.能根据函数的单调性求参数．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)‎ f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0‎ 单调递增 f′(x)<0‎ 单调递减 思考：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0这个说法正确吗？‎ ‎[提示]　不正确，应该是f′(x)≥0.‎ ‎2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)‎ 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．‎ ‎ (　　)‎ ‎(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)‎ ‎(3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．‎ ‎ (　　)‎ ‎(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件．‎ ‎ (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(　　)‎ A．(0，＋∞)　　　　 B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ D　[y′＝3x2＋1>0，故选D.]‎ ‎3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) ‎ ‎【导学号：97792146】‎ 9‎ A．f(x)>0 B．f(x)<0‎ C．f(x)＝0 D．不能确定 ‎ A　[由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a，b)内是增函数，且f(a)≥0，故f(x)>0.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 函数的单调性与单调区间 ‎　(1)函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递减区间为__________．‎ ‎(2)设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．‎ ‎[思路探究]　(1)求f′(x)⇒解不等式f′(x)<0‎ ‎(2)求f′(x)⇒根据a的取值判断f′(x)的正负号．‎ ‎[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝6x－＝ 令f′(x)<0，即<0，解得－0，故00，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为 x1＝，x2＝.‎ 当00；当x1x2时，f′(x)>0.‎ 故f(x)分别在，上单调递增，在 9‎ 上单调递减．‎ ‎[规律方法]　‎ 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤：‎ ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(　　)‎ A.和(1，＋∞)‎ B. C.∪(1，＋∞)‎ D. A　[y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间为和(1，＋∞)，故选A. ]‎ ‎(2)讨论函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)的单调性．‎ ‎[解]　函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.‎ ‎①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；‎ ‎②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)．‎ 综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．‎ 导数与函数图象的关系 ‎　(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图331所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ 9‎ 图331‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)的图象如图332所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的 (　　)‎ ‎ 【导学号：97792147】‎ 图332‎ ‎[解析]　(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎(0,2)‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D.‎ ‎(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：‎ x ‎(－1，b)‎ ‎(b，a)‎ ‎(a,1)‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C.‎ 9‎ ‎[答案]　(1)D　(2)C ‎[规律方法]　(1)研究函数与导数图象间对应关系的注意点 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．‎ ‎(2)导数与函数图象的关系 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大绝对值越来越小 提醒：函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图333所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)‎ 图333‎ D　[由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x 9‎ ‎＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．]‎ ‎(2)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图334，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．‎ 图334‎ ∪(2,3)　[根据导数和图象单调性的关系知当x∈∪(2,3)时f′(x)<0.]‎ 已知函数的单调性求参数的取值范围 ‎[探究问题]‎ ‎1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？‎ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．‎ ‎2．一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？‎ 提示：‎ 函数的单调性 导数 单调递增 f′(x)≥0且f′(x)不恒为0‎ 单调递减 f′(x)≤0且f′(x)不恒为0‎ 常函数 f′(x)＝0‎ ‎　已知函数f(x)＝x3－ax－1，‎ ‎(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；‎ ‎(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．‎ ‎[思路探究]　(1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围；‎ ‎(2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值．‎ ‎[解]　(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，‎ 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.‎ ‎(2)f′(x)＝3x2－a.‎ ‎①当a≤0时，f′(x)≥0，无减区间，不满足条件．‎ 9‎ ‎②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±；‎ 当－＜x＜时，f′(x)＜0.‎ 因此f(x)在上为减函数．‎ 所以＝1，即a＝3.‎ ‎[规律方法]　1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 ‎(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．‎ ‎(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．‎ ‎2．恒成立问题的重要思路 ‎(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.‎ ‎(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．(1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________. ‎ ‎【导学号：97792148】‎ ‎[1，＋∞)　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．‎ 由于k≥，而0<<1，所以k≥1.‎ 即k的取值范围为[1，＋∞)．]‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2＋2aln x.‎ ‎①试讨论函数f(x)的单调区间 ‎②若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　①f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ Ⅰ.当a≥0时，f′(x)>0，‎ f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；‎ Ⅱ.当a<0时，‎ 9‎ f′(x)＝，‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ，＋∞‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 递减 递增 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；‎ 单调递增区间是(，＋∞)．‎ ‎②由g(x)＝＋x2＋2aln x，‎ 得g′(x)＝－＋2x＋，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，‎ 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即a≤－x2在[1,2]上恒成立，‎ 令h(x)＝－x2，‎ 则h′(x)＝－－2x＝－<0，‎ x∈[1,2]，‎ 所以h(x)在[1,2]上为减函数，‎ h(x)min＝h(2)＝－，‎ 所以a≤－.‎ 故实数a的取值范围为.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)‎ A．y＝sin x　　　　　　　 B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln x B　[对于y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0，‎ ‎∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．]‎ ‎2．在R上可导的函数f(x)的图象如图335所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为(　　)‎ 9‎ 图335‎ A．(－∞，－1)∪(0,1)‎ B．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，－1)∪(1,2)‎ D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ A　[当x>0时，f′(x)<0，此时00，此时x<－1，‎ 因此xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]‎ ‎3．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________．‎ ‎(0，＋∞)　[f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝xex，‎ 令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增区间为(0，＋∞)．]‎ ‎4．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．‎ 　[∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意知f(x)在R上单调递增，‎ ‎∴Δ＝4－‎12m≤0，∴m≥.]‎ ‎5．设f(x)＝，其中a为正实数．若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. ‎ ‎【导学号：97792149】‎ ‎[解]　对f(x)求导得f′(x)＝ex，‎ 若f(x)为R上的单调函数，‎ 则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，‎ 因此Δ＝‎4a2－‎4a＝‎4a(a－1)≤0，‎ 由此并结合a＞0，知0＜a≤1.‎ 即a的取值范围为(0,1]．‎ 9‎