2020高中数学 第一章 充分条件与必要条件 1 8页

‎1.2.1　‎充分条件与必要条件 ‎1.2.2　‎充要条件 学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．充分条件与必要条件 命题真假 ‎“若p，则q”是真命题 ‎“若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？‎ ‎(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？‎ ‎[提示]　(1)相同，都是p⇒q　(2)等价 ‎2．充要条件 ‎(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．‎ 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．‎ ‎(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．‎ ‎(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．‎ 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？‎ ‎(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？‎ ‎[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.‎ ‎(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．‎ ‎②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)‎ ‎(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　)‎ 8‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×‎ ‎2．“x>‎2”‎是“x2－3x＋2>‎0”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]‎ ‎3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．‎ ‎(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；‎ ‎(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；‎ ‎(3)p：a>b，q：a＋c>b＋C． ‎ ‎【导学号：46342015】‎ ‎(1)(3)　[在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 充分条件、必要条件、充要条件的判断 ‎　指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．‎ ‎(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；‎ ‎(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；‎ ‎(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；‎ ‎(4)p：a＜b，q：＜1.‎ ‎[思路探究]　判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．‎ ‎(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．‎ ‎(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．‎ ‎(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；‎ 当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；‎ 8‎ 当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；‎ 当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.‎ 因此p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎[规律方法]　充分条件与必要条件的判断方法 ‎(1)定义法 ‎(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．‎ ‎(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．‎ 若﹁p⇒﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；‎ 若﹁p⇒﹁q，且﹁q ﹁p，则p是q的必要不充分条件；‎ 若﹁p⇔﹁q，则p与q互为充要条件；‎ 若﹁p ﹁q，且﹁q ﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b‎2”‎的(　　)‎ ‎【导学号：46342016】‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b‎2”‎；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b‎2”‎不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b‎2”‎的既不充分也不必要条件．]‎ ‎(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(　　)‎ ‎①Δ＝b2－‎4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；‎ ‎②Δ＝b2－‎4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；‎ ‎③Δ＝b2－‎4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；‎ ‎④Δ＝b2－‎4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．‎ A．①④　　　　 B．①②③‎ 8‎ C．①②③④ D．①②④‎ D　[①Δ＝b2－‎4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．‎ ‎②若Δ＝b2－‎4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．‎ ‎③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－‎4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．‎ ‎④Δ＝b2－‎4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]‎ 充要条件的探求与证明 ‎　(1)“x2－4x<‎0”‎的一个充分不必要条件为(　　)‎ A．00 D．x<4‎ ‎(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.‎ ‎[思路探究]　(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．‎ ‎(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．‎ ‎[解析]　(1)由x2－4x<0得00及x>y，得>，即<.‎ 必要性：由<，得－<0，即<0.‎ 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.‎ 所以<的充要条件是xy>0.‎ 法二：<⇔－<0⇔<0.‎ 由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.‎ 所以<⇔xy>0，‎ 8‎ 即<的充要条件是xy>0.‎ ‎[规律方法]　1.探求充要条件一般有两种方法：‎ ‎(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．‎ ‎(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．‎ ‎2．充要条件的证明 ‎(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．‎ ‎(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　) ‎ ‎【导学号：46342017】‎ A．x∈(0,2)　　　 B．x∈[－1，＋∞)‎ C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)‎ B　[由x(x－2)<0得00)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．‎ ‎[思路探究]　→→ ‎[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．‎ 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.‎ 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，‎ 所以或解得m≥9.‎ 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．‎ ‎[答案]　{m|m≥9}(或[9，＋∞))‎ 母题探究：1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．‎ ‎[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)‎ 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.‎ 则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}‎ 所以，解得00，所以x1，x2同号．‎ 又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．‎ 8‎ 即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.‎ ‎(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，‎ 所以即 所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.‎ 综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．‎ 8‎