2021版高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-4直接证明与间接证明、数学归纳法课件理北师大版 13页

第四节　直接证明与 间接证明、数学归纳法 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从已知条件出发 , 经过逐步的 推理 , 最后达到待证结论的方 法 , 是一种从 _____ 推导到 _____ 的思维方法 从待证结论出发 , 一步一步寻求结论 成立的充分条件 , 最后达到题设的已 知条件或已被证明的事实的方法 , 是 一种从 _____ 追溯到产生这一结果的 _____ 的思维方法 特点 从“ _____” 看“ _____”, 逐 步推向“未知” , 其逐步推理 , 实际上是要寻找它的 _____ 条件 从“ _____” 看“ _____”, 逐步靠拢 “ _____”, 其逐步推理 , 实际上是要 寻找它的 _____ 条件 原因 结果 结果 原因 已知 可知 必要 未知 需知 已知 充分 2. 间接证明 —— 反证法 先假定命题结论的 _____ 成立 , 在这个前提下 , 若推出的结论与 _____________ _____ 相矛盾 , 或与命题中的 _________ 相矛盾 , 或与 _____ 相矛盾 , 从而说明命题 结论的反面 _______ 成立 , 由此断定命题的结论 _____, 这种证明方法叫做反证法 . 3. 数学归纳法 (1) 作用 : 证明某些与 ________ 有关的数学命题 . 反面 定义、公理、 定理 已知条件 假定 不可能 成立 正整数 n (2) 基本步骤 : ① 验证 : 当 n 取 __________( 如 n 0 =1 或 2 等 ) 时 , 命题成立 ; ② 在假设当 n=k(k∈N + ,k≥n 0 ) 时命题成立的前提下 , 推出当 n=____ 时 , 命题成立 . 根据 ①② 可以断定命题对一切从 n 0 开始的正整数 n 都成立 . 第一个值 n 0 k+1 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 综合法的思维过程是由因导果 , 逐步寻找已知条件的必要条件 . ( 　　 ) (2) 分析法是从要证明的结论出发 , 逐步寻找使结论成立的充要条件 . ( 　　 ) (3) 分析法与反证法都是从结论出发 , 是相同的证明方法 . ( 　　 ) (4) 用数学归纳法证明问题时 , 第一步一定是验证 n=1 时结论成立 . ( 　　 ) 提示 : (1) √ . 符合综合法的 定义 . (2)×. 寻找的是结论成立的充分条件 . (3)×. 分析法是执果索因 , 反证法是否定结论推矛盾 , 是不一样的证明方法 . (4)×. 归纳奠基 n=n 0 时 ,n 0 不一定等于 1, 可以是不小于 1 的任意一个正整数 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 反设不全面致误 考点一、 T1,2 2 忽视数列性质的应用 考点二、 T2 3 忽视无理式变形中的分子有理化 考点三、角度 1 4 忽视恒成立问题的转化 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-2P9 例 3 改编 ) 若 a,b,c 是不全相等的实数 , 求证 :a 2 +b 2 +c 2 >ab+bc+ca. 证明过程如下 : 因为 a,b,c∈R, 所以 a 2 +b 2 ≥2ab,b 2 +c 2 ≥2bc,c 2 +a 2 ≥2ac. 又因为 a,b,c 不全相等 , 所以以上三式至少有一个等号不成立 , 所以将以上三式相加得 2(a 2 +b 2 +c 2 )>2(ab+bc+ac), 所以 a 2 +b 2 +c 2 >ab+bc+ca. 此证 法是 ( 　　 ) A. 分析法　　　　　 B. 综合法 C. 分析法与综合法并用 D. 反证法 【解析】 选 B. 由因导果是综合法 . 2.( 选修 2-2 P10 例 5 改编 ) 欲证 , 只需证 ( 　　 ) 【解析】 选 A. 欲证 , 只需证 , 只需证 3.( 选修 2-2 P14 例 4 改编 ) 用反证法证明命题“设 a,b 为实数 , 则方程 x 2 +ax+b=0 至 少有一个实根”时 , 要做的假设是 ( 　　 ) A. 方程 x 2 +ax+b=0 没有实根 B. 方程 x 2 +ax+b=0 至多有一个实根 C. 方程 x 2 +ax+b=0 至多有两个实根 D. 方程 x 2 +ax+b=0 恰好有两个实根 【解析】 选 A. 因为“方程 x 2 +ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x 2 +ax+b=0 有 一个实根或两个实根” , 所以该命题的否定是“方程 x 2 +ax+b=0 没有实根” . 4.( 选修 2-2 P17 例 1 改编 ) 利用数学归纳法证明不等式 1+