北京市顺义区牛栏山第一中学2019届高三9月月考数学试题 含解析 16页

牛栏山一中2019-2020学年度第一学期9月月考试题 数学试卷（高三）‎ 本试卷共4页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将答题卡按页码从小到大排列好上交。‎ 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.设（为虚数单位），则=()‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据模长的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数模长求解，属于基础题.‎ ‎2.已知，则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数单调性可知；根据特殊角三角函数值知；根据指数函数单调性知，从而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小类的问题，关键是能够通过临界值来对三个数字的大小进行区分，属于基础题.‎ ‎3.＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的值，熟记诱导公式即可，属于基础题型.‎ ‎4.偶函数在上单调递增，下列函数满足条件的是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 依次判断各个函数的奇偶性和在上的单调性即可得到结果.‎ ‎【详解】中，在上单调递减，不符合题意，错误；‎ 中，为非奇非偶函数，不符合题意，错误；‎ 中，，则为偶函数；当时，，单调递增，正确；‎ 中，在上单调递减，不符合题意，错误 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于基础题.‎ ‎5.“”是“”()‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过反例可知充分条件不成立；当时，可得的范围，与所给条件不符，必要条件不成立，从而得到结论.‎ ‎【详解】当时，，可知充分条件不成立 当时，，，可知必要条件不成立 ‎“”是“”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎6.设函数的图象关于直线对称，则的值为()‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称轴可知，代入可求得结果.‎ ‎【详解】关于直线对称 ，则 经检验，满足题意，本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数对称性的应用，在已知对称轴的情况下，通常采用特殊值的方式来进行求解.‎ ‎7.若,,且,则下列结论中必成立的是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，，根据导函数符号可判断出在上单调递增，根据奇偶性定义可知为偶函数，图象关于轴对称，则根据图象对称关系可得到.‎ ‎【详解】令，，则 当时，，，即 在上单调递增 ‎ 为偶函数 图象关于轴对称，在上单调递减 时，即时，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性判断大小关系的问题，关键是能够利用导数和函数的奇偶性得到函数的对称性和在每一段区间上的单调性，从而得到自变量之间的大小关系.‎ ‎8.在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的，和满足一个线性关系，即（其中是正数），则以下说法正确的是 A. 随着车流密度增大，车流速度增大 B. 随着车流密度增大，交通流量增大 C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．‎ ‎【详解】由，得：，‎ 由单位关系，得：Q＝VK＝＝，‎ 可以是看成是Q与V的二次函数，开口向下，‎ 图象先增大，再减小，‎ 所以，随着车流速度V的增大，交通流量Q先增大、后减小。‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.已知，且为第二象限角，则=______；=_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的范围可得正余弦的符号，利用同角三角函数关系可求得结果.‎ ‎【详解】为第二象限角 ，‎ 由得：‎ 本题正确结果：；‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，易错点是忽略角的范围，造成符号求解错误.‎ ‎10.把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解析过程略 ‎11.函数的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】（0,1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式可得到图象，利用数形结合即可得到结果.‎ ‎【详解】图象如下图所示：‎ 由图象可知，若与有两个不同的交点，则 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据交点个数求解参数范围的问题，常采用数形结合的方式来进行求解.‎ ‎12.表示两个数中最小值，则函数的最大值为____________.‎ ‎【答案】1；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最小值的定义可得到的图象，通过图像可确定最大值点，代入求得结果.‎ ‎【详解】将两个函数图像画在同一坐标系中，由题意可得图象如下图所示：‎ 当时，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算求解，关键是能够明确最小值的定义，即取两个函数中较小的，通过函数图象可确定最值点.‎ ‎13.函数为奇函数，则=_______；的值域为_______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). （-1,1）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性的定义可构造方程求得；通过分离常数法可求得函数值域.‎ ‎【详解】为奇函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即值域为 本题正确结果：；‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性求解参数值、分式型函数值域的求解问题；处理分式型函数的值域问题的常用方法为分离常数法.‎ ‎14.用个不同的实数，，，可得到n!不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵.例如：用1，2，3可得数阵 对第行，，，，，记，，，，.设.由1，2，3，4，5，6形成的数阵中，_________.‎ ‎【答案】7560‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数阵排列规律可得第列各个数字之和为，根据的规律可代入每列的数字之和从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意可知，数阵中行数6！＝720，在用1，2，3，4，5，6形成的数阵中，每一列各数字之和都是6!÷6×（1+2+3+4+5+6）＝2520，‎ 所以第列各个数字之和：，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查数列中的新定义运算的问题，关键是能够通过数阵的排列规律得到每列数字之和的特点，考查了归纳总结能力.‎ 三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎15.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；最小正周期为；（Ⅱ）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和辅助角公式整理函数为；（Ⅰ）代入可求得；根据正弦型函数最小正周期可求得结果；（Ⅱ）利用的范围求出的范围，结合正弦函数图象可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ 最小正周期 ‎（Ⅱ）当时， ‎ ‎，即最小值为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的函数值、最小正周期、最值的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式化简三角函数为正弦型函数的形式，属于常考题型.‎ ‎16.的内角所对的边分别为.已知.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用余弦定理可构造方程求得；利用余弦定理求得；（II）根据三角形面积公式可直接求得结果.‎ ‎【详解】（I）由余弦定理得：‎ 解得：（舍）或 ‎（II）由（I）得：‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎17.,.‎ ‎（1）若，，求取值范围；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将和代入不等式，可知分别小于零和大于等于零，从而根据不等式组求得结果；（2）设，根据对称轴位置可知只需即可满足题意，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）， ，解得：‎ 即的取值范围为：‎ ‎（2）设 对称轴 若，只需，即，解得：‎ 即的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题考查根据元素和集合的关系、集合交集的结果求解参数范围的问题；本题中解决交集结果不是空集的关键是能够通过函数图象对称轴的位置确定最小值取值的范围，从而求得结果.‎ ‎18.已知函数(为常数).‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若函数在恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和两种情况下根据奇偶性定义判断即可得到结果；（2）将问题变为，根据的单调性和极限值可求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：定义域为 当时， 为偶函数 当时， ，‎ 为非奇非偶函数 综上所述：时，为偶函数；时，为非奇非偶函数 ‎（2）当时，等价于 在上单调递减，且时，‎ ‎，即当时，在上恒成立 ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的比较.‎ ‎19.已知函数其中为实数.设，为该函数图象上的两个不同的点.‎ ‎（1）指出函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的图象在点，处的切线互相平行，求的最小值；‎ ‎（3）若函数的图象在点，处的切线重合，求的取值范围.(只要求写出答案).‎ ‎【答案】（1）递增区间为，，的递减区间为.（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数和对数函数单调性即可得到函数的单调区间；（2）根据切线平行可知；根据函数导函数的单调性可知分属两段不同区间；设，则，得到切线斜率，将化为，由基本不等式可求得最小值；（3）由切线重合得到斜率相等，得到，进而得到；根据切线重合，写出切线方程后可知方程相同，得到等式；令，，利用导数可得函数的单调性，从而得到的值域，从而得到的范围.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 当时，，在上单调递增 综上所述：的单调递增区间为：，；单调递减区间为：‎ ‎（2）设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为 在，处的切线互相平行 ‎ 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减 不能同时属于，也不能同时属于 不妨设，则 ，‎ ‎，即：‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ ‎（3）若切线重合，则，由（2）知：‎ ‎ ，即 ‎ 在点处的切线为：‎ 在点处的切线为：‎ 切线重合 切线方程相同，整理可得：‎ 设，，则 时， 在上单调递减 又时，； ‎ ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求解、导数几何意义的应用，涉及到根据切线平行与重合的位置关系求解参数范围、最值类的问题；求解切线重合问题的关键是能够利用切线方程相同构造出关于变量的方程，将问题转化为函数值域的求解问题.‎ ‎20.对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．‎ ‎（I）已知集合，，写出，的值； ‎ ‎（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；‎ ‎（III）已知均有性质，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（I）； （II）见解析； （III）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)分别求得A+A，B+B，然后可得，的值；‎ ‎(Ⅱ)将原问题进行等价变形，然后利用反证法证明题中的结论即可；‎ ‎(Ⅲ)原问题等价于任意两个元素之和均不相同，且任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.据此整理计算即可确定的最小值.‎ ‎【详解】（I）由题意可得：，,‎ 故 ‎ ‎（II）要证具有性质，只需证明，若，则.‎ 假设上式结论不成立，即若，则.‎ 即，即，‎ ‎，.‎ 因为上式的右边为的倍数，而上式的左边为的倍数，所以上式不成立.‎ 故假设不成立，原命题成立. ‎ ‎（III）由题意，集合具有性质，等价于任意两个元素之和均不相同.‎ 如，对于任意的，有，‎ 等价于，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同.‎ 令，‎ 所以具有性质.‎ 因为集合均有性质，且，‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】“新定义”‎ 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎