2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系9 面面平行的判定学案 苏教版必修2 4页

面面平行的判定 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 解应用题 熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题 选择题 填空题 应用题 面面平行常常与线面平行结合使用，实现线面间的关系转化，注意灵活掌握 二、重难点提示 重点：两个平面平行的判定定理及应用。‎ 难点：平面与平面平行的判定的理解及应用。‎ 考点一：两个平面的位置关系 ‎1. 两个平面平行的定义 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面平行。‎ ‎2. 空间两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有一条公共直线 符号表示 α∥β α∩β＝a 图形表示 考点二：两个平面平行的判定 ‎1. 两个平面平行的定义：由于定义是用否定语句来定义的，用它直接来判定两个平面平行，在实际操作中有一定难度，大多数情况需用反证法。‎ ‎2. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。即如图所示。‎ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α。‎ ‎3. 垂直于同一条直线的两个平面平行。‎ 即∥。‎ ‎4. 平行于同一平面的两个平面平行（即平行平面的传递性）。‎ 即∥，∥∥。‎ 4‎ ‎【随堂练习】已知三条互相平行的直线a、b、c中，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位置关系是________。‎ 答案：如图①满足a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，此时α与β相交。‎ 图①‎ 如图②亦满足条件a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，此时α与β平行。‎ 图②‎ 故应填：相交或平行。‎ 思路分析：按情况分类讨论。‎ 技巧点拨：直线和平面平行的判定必须具备五个条件，其中共面直线相交这个很重要的条件要牢记。注意这种分类思想在几何中的应用。‎ 例题1 （平面与平面间的位置关系）‎ 已知下列说法：‎ ‎①若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a∥b；‎ ‎②若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b是异面直线；‎ ‎③若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b一定不相交；‎ ‎④若两个平面α∥β，a∉α，b∉β，则a与b平行或异面；‎ ‎⑤若两个平面α∩β＝b，a∉α，则a与β一定相交。‎ 其中正确的是________（将你认为正确的序号都填上）。 ‎ 思路分析：由平面间的位置关系逐一判断。‎ 答案：①错，a与b也可能异面；‎ ‎②错，a与b也可能平行；‎ ‎③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a∉α，b∉β，∴a与b无公共点；‎ ‎④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；‎ ‎⑤错，a与β也可能平行。故应填③④。‎ 技巧点拨：1. 两个平面的位置关系有两种：平行和相交。熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键。‎ ‎2. 平面与平面的位置关系的判断方法：‎ ‎（1）平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点。‎ ‎（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点。‎ 例题2 （平面与平面平行的判定）‎ 4‎ 如图，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点。求证：平面ED1∥平面BF1。‎ 思路分析：本题可先证明平面ED1和平面BF1的对应两条相交边互相平行，从而利用面面平行的判定定理证得平行结论。‎ 答案：∵E、F分别为AB、CD的中点，‎ ‎∴BE＝CF且BE∥CF，‎ ‎∴四边形BEFC为平行四边形，从而EF∥BC，‎ ‎∴FE∥平面BF1，‎ 同理F、F1分别为DC、D‎1C1的中点，‎ ‎∴D‎1F1∥FC且D‎1F1＝FC，‎ ‎∴四边形D‎1F1CF为平行四边形，‎ ‎∴D‎1F∥CF1，‎ ‎∴D‎1F∥平面BF1且FE∥平面BF1，‎ 而且D‎1F∩FE＝F，‎ ‎∴平面ED1∥平面BF1。‎ 技巧点拨：‎ 证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”。具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识。‎ 立体几何与平面几何综合应用 ‎【满分训练】如图（1）所示，三棱锥A－BCD中，M、N、G分别是△ABC、△BCD、△ABD的重心。‎ ‎（1）求证：平面MNG∥平面ACD；‎ ‎（2）求S△MNG∶S△ACD。‎ 4‎ 思路分析：（1）可综合利用三角形重心和平行线段成比例定理证明；（2）可证明△MNG∽△DAC，从而将两三角形的面积之比转化为求三角形对应边之比的平方。 ‎ 答案：（1）如图（2）所示，连接BM、BN、BG并延长分别交AC、CD、DA于P、E、F，由M、N、G分别是△ABC、△BCD、△ABD的重心知P、E、F分别是AC、CD、DA的中点，‎ 连接PE、EF、PF，‎ 则PE∥AD，且PE＝AD；‎ EF∥AC，且FE＝AC；‎ PF∥CD，且PF＝CD，‎ 又＝2，‎ ‎∴MN∥PE，∴MN∥AD，‎ 又∵MN⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，‎ ‎∴MN∥平面ACD，‎ 同理MG∥平面ACD，‎ ‎∵MN∩MG＝M，∴平面MNG∥平面ACD；‎ ‎（2）由（1）知＝，‎ ‎∴＝，即MN＝PE，‎ 又PE＝AD，‎ ‎∴MN＝AD，即＝，‎ 由（1）知MN∥AD，MG∥CD，‎ ‎∴∠GMN＝∠ADC，‎ ‎∴△MNG∽△DAC，‎ ‎∴＝（）2＝（）2＝。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线。‎ ‎2. 平面与平面平行的判定方法：‎ ‎（1）定义法：两个平面没有公共点；‎ ‎（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；‎ ‎（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，‎ 则α∥β；‎ ‎（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。‎ 4‎