2020版高中数学 第2章 数列第1课时 等比数列 8页

第1课时　等比数列 ‎1.理解等比数列的定义.(重点) ‎2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重点、难点) ‎3.熟练掌握等比数列的判定方法.(易错点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　等比数列的定义 阅读教材P44～P45倒数第10行，完成下列问题.‎ ‎1.等比数列的概念 ‎(1)文字语言：‎ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎(2)符号语言：‎ ＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋).‎ ‎2.等比中项 ‎(1)前提：三个数x，G，y成等比数列.‎ ‎(2)结论：G叫做x，y的等比中项.‎ ‎(3)满足的关系式：G2＝xy.‎ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)常数列一定是等比数列.(　　)‎ ‎(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.(　　)‎ ‎(3)等比数列中的项可以为零.(　　)‎ ‎(4)若a，b，c三个数满足b2＝ac，则a，b，c一定能构成等比数列.(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列.‎ ‎(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列.‎ ‎(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.‎ 8‎ ‎(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，但是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，则a，b，c就不是等比数列.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ 教材整理2　等比数列的通项公式 阅读教材P45～P47，完成下列问题.‎ ‎1.等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.‎ ‎2.等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点.‎ ‎1.在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an＝________.‎ ‎【解析】　an＝a1qn－1＝4·3n－1.‎ ‎【答案】　4·3n－1‎ ‎2.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.‎ ‎【解析】　∵a2＝a1q＝2， ①‎ a5＝a1q4＝， ②‎ ‎∴②÷①得：q3＝，∴q＝.‎ ‎【答案】　 ‎3.在等比数列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，则a8＝________.‎ ‎【解析】　由得 所以a8＝·27＝192.‎ ‎【答案】　192‎ ‎[小组合作型]‎ 8‎ 等比数列的判断与证明 ‎　(1)下列数列是等比数列的是(　　)‎ A.2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…‎ B.－1,1，－1,1，－1，…‎ C.0,2,4,6,8,10，…‎ D.a1，a2，a3，a4，…‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列.‎ ‎【精彩点拨】　(1)利用等比数列的定义判定.‎ ‎(2)先利用Sn与an的关系，探求an，然后利用等比数列的定义判定.‎ ‎【自主解答】　(1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.‎ B.由等比数列定义知该数列为等比数列.‎ C.等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列.‎ D.当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列.‎ ‎【答案】　B ‎(2)证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.‎ ‎∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an.‎ 又∵S1＝2－a1，‎ ‎∴a1＝1≠0.‎ 又由an＋1＝an知an≠0，‎ ‎∴＝，∴{an}是等比数列.‎ 判断一个数列{an}是等比数列的方法：‎ (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.‎ (2)等比中项法：对于数列{an}，若a,＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.‎ (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.‎ ‎[再练一题]‎ 8‎ ‎1.已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.‎ ‎【证明】　由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，‎ 故＝＝ ‎＝＝2，‎ ‎∴数列{bn}是等比数列.‎ ‎∵b1＝＝，‎ ‎∴bn＝×2n－1＝2n－3.‎ 等比中项 ‎　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)‎ A.±4　　　B‎.4　‎　　C.±　　　D. ‎(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. ‎ ‎【导学号：18082031】‎ ‎【精彩点拨】　(1)用定义求等比中项.‎ ‎(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可.‎ ‎【自主解答】　(1)由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.‎ ‎【答案】　A ‎(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，‎ 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a‎2c2＋b4＋b‎2c2＝a2b2＋‎2a2c2＋b‎2c2，‎ ‎(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab‎2c＋b‎2c2＝a2b2＋‎2a2c2＋b‎2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.‎ 等比中项应用的三点注意：‎ (1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.‎ 8‎ (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.‎ (3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)‎ A.2 B‎.4 C.6 D.8‎ ‎【解析】　∵an＝(n＋8)d，‎ 又∵a＝a1·a2k，‎ ‎∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，‎ 解得k＝－2(舍去)，‎ k＝4.‎ ‎【答案】　B ‎[探究共研型]‎ 等比数列的通项公式 探究1　类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？‎ ‎【提示】　由等比数列的定义可知：‎ a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，‎ a5＝a4q＝a1q4…‎ 由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.‎ 探究2　由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？‎ ‎【提示】　由＝q，知＝q，＝q，‎ ＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；‎ 由两式相比得＝qn－m，‎ 则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广.‎ 探究3　在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？‎ ‎【提示】　若a1＝2，q＝，则a3＝2·＝；‎ 8‎ 若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，‎ 所以q＝±2，‎ 由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”.‎ ‎　(1)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；‎ ‎(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.‎ ‎【精彩点拨】　(1)先由a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，‎ 列出方程组，求出a1，q，然后再由an＝1解出n.‎ ‎(2)根据条件求出基本量a1，q，再求通项公式.‎ ‎【自主解答】　(1)法一　因为 由得q＝，从而a1＝32.‎ 又an＝1，所以32×＝1，‎ 即26－n＝20，所以n＝6.‎ 法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.‎ 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.‎ 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.‎ ‎(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.‎ a＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎1.等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.‎ ‎2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法：‎ ‎(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.‎ ‎(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在等比数列{an}中，‎ 8‎ ‎(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；‎ ‎(2)若a4＝2，a7＝8，求an. ‎ ‎【导学号：18082032】‎ ‎【解】　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，‎ q＝＝－3，‎ ‎∴a5＝405.‎ ‎(2)因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，‎ 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. ‎ ‎1.在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　‎ A. B. C.－ D.或－ ‎【解析】　由解得或 又a1＜0，因此q＝－.‎ ‎【答案】　C ‎2.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)‎ A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9‎ C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9‎ ‎【解析】　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号.‎ 所以ac＝b2＝9.‎ ‎【答案】　B ‎3.在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________.‎ ‎【解析】　法一：由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12.‎ 法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5成等比数列，＝，∴a＝a3·a5，∴a5＝＝12.‎ ‎【答案】　12‎ 8‎ ‎4.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.‎ ‎【解析】　由已知可知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，‎ 解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，‎ 所以an＝4×.‎ ‎【答案】　4× ‎5.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8，‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若an＝，求n.‎ ‎【解】　(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.‎ 所以q＝±.‎ 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；‎ 当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×.‎ 所以an＝28－n或an＝32×.‎ ‎(2)当an＝时，28－n＝或32× ＝，解得n＝9.‎ 8‎