高考数学专题复习课件：3-1导数与导函数的概念 48页

1 ． 导数与导函数的概念 (2) 如果函数 y ＝ f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内的每一点处都有导数，其导数值在 ( a ， b ) 内构成一个新函数，这个函数称为函数 y ＝ f ( x ) 在开区间内的导函数．记作 f ′( x ) 或 y ′. 2 ． 导数的几何意义 函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 的几何意义是在曲线 y ＝ f ( x ) 上点 ____________ 处的 ___________________ ( 瞬时速度就是位移函数 s ( t ) 对时间 t 的导数 ) ．相应地，切线方程为 ____________________ ． P ( x 0 ， y 0 ) 切线的斜率 y － y 0 ＝ f ′ ( x 0 ) · ( x － x 0 ) 3 ． 基本初等函数的导数公式 4. 导数的运算法则 若 f ′( x ) ， g ′ ( x ) 存在，则有 (1)[ f ( x )± g ( x )] ′ ＝ __________ ； (2)[ f ( x )· g ( x )] ′ ＝ ____________________ ； f ′ ( x )± g ′( x ) f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) 5 ． 复合函数的导数 复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的导数和函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) 的导数间的关系为 y x ′ ＝ ___________ ，即 y 对 x 的导数等于 _____ 的导数与 _______ 的导数的乘积． y u ′· u x ′ y 对 u u 对 x 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) f ′( x 0 ) 与 ( f ( x 0 ))′ 表示的意义相同． ( 　　 ) (2) 求 f ′( x 0 ) 时，可先求 f ( x 0 ) 再求 f ′( x 0 ) ． ( 　　 ) (3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( 　　 ) (4) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( 　　 ) (5) 函数 f ( x ) ＝ sin( － x ) 的导数是 f ′( x ) ＝ cos x ． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) × 【 答案 】 B 2 ．如图所示为函数 y ＝ f ( x ) ， y ＝ g ( x ) 的导函数的图象，那么 y ＝ f ( x ) ， y ＝ g ( x ) 的图象可能是 ( 　　 ) 【 解析 】 由 y ＝ f ′( x ) 的图象知 y ＝ f ′( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减，说明函数 y ＝ f ( x ) 的切线的斜率在 (0 ，＋ ∞ ) 上也单调递减，故可排除 A ， C. 又由图象知 y ＝ f ′( x ) 与 y ＝ g ′( x ) 的图象在 x ＝ x 0 处相交，说明 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ g ( x ) 的图象在 x ＝ x 0 处的切线的斜率相同，故可排除 B. 故选 D. 【 答案 】 D 【 答案 】 D 4 ． (2016· 全国卷 Ⅲ ) 已知 f ( x ) 为偶函数，当 x ＜ 0 时， f ( x ) ＝ ln( － x ) ＋ 3 x ，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ，－ 3) 处的切线方程是 ________ ． 【 答案 】 y ＝－ 2 x － 1 【 答案 】 (1 ， 1) 【 方法规律 】 (1) 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量． (2) 复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． 跟踪训练 1 (1) f ( x ) ＝ x (2 016 ＋ ln x ) ，若 f ′( x 0 ) ＝ 2 017 ，则 x 0 等于 ( 　　 ) A ． e 2 　　　　　　　　　 B ． 1 C ． ln 2 D ． e (2) 若函数 f ( x ) ＝ ax 4 ＋ bx 2 ＋ c 满足 f ′(1) ＝ 2 ，则 f ′( － 1) 等于 ( 　　 ) A ．－ 1 B ．－ 2 C ． 2 D ． 0 【 答案 】 (1)B 　 (2)B 【 答案 】 (1)C 　 (2)C 命题点 2 　未知切点的切线方程问题 【 例 3 】 (1) 与直线 2 x － y ＋ 4 ＝ 0 平行的抛物线 y ＝ x 2 的切线方程是 ( 　　 ) A ． 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 B ． 2 x － y － 3 ＝ 0 C ． 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 D ． 2 x － y － 1 ＝ 0 (2) (2017· 威海质检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x ln x ，若直线 l 过点 (0 ，－ 1) ，并且与曲线 y ＝ f ( x ) 相切，则直线 l 的方程为 ( 　　 ) A ． x ＋ y － 1 ＝ 0 B ． x － y － 1 ＝ 0 C ． x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 D ． x － y ＋ 1 ＝ 0 【 解析 】 (1) 对 y ＝ x 2 求导得 y ′ ＝ 2 x . 设切点坐标为 ( x 0 ， x ) ，则切线斜率为 k ＝ 2 x 0 . 由 2 x 0 ＝ 2 得 x 0 ＝ 1 ，故切线方程为 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 2 x － y － 1 ＝ 0. (2) ∵ 点 (0 ，－ 1) 不在曲线 f ( x ) ＝ x ln x 上， ∴ 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ． 【 答案 】 (1)D 　 (2)B 【 答案 】 A 命题点 4 　导数与函数图象的关系 【 例 5 】 如图，点 A (2 ， 1) ， B (3 ， 0) ， E ( x ， 0)( x ≥ 0) ，过点 E 作 OB 的垂线 l . 记 △ AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S ，则函数 S ＝ f ( x ) 的图象为下图中的 ( 　　 ) 【 解析 】 函数的定义域为 [0 ，＋ ∞ ) ，当 x ∈ [0 ， 2] 时，在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越大，即斜率 f ′ ( x ) 在 [0 ， 2] 内大于 0 且越来越大，因此，函数 S ＝ f ( x ) 的图象是上升的，且图象是下凸的； 当 x ∈ (2 ， 3) 时，在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越小，即斜率 f ′( x ) 在 (2 ， 3) 内大于 0 且越来越小，因此，函数 S ＝ f ( x ) 的图象是上升的，且图象是上凸的； 当 x ∈ [3 ，＋ ∞ ) 时，在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 为 0 ，即斜率 f ′( x ) 在 [3 ，＋ ∞ ) 内为常数 0 ，此时，函数图象为平行于 x 轴的射线． 【 答案 】 D 【 方法规律 】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点 A ( x 0 ， f ( x 0 )) 求斜率 k ，即求该点处的导数值： k ＝ f ′( x 0 ) ． (2) 已知斜率 k ，求切点 A ( x 1 ， f ( x 1 )) ，即解方程 f ′( x 1 ) ＝ k . (2) (2017· 郑州二测 ) 如图， y ＝ f ( x ) 是可导函数，直线 l ： y ＝ kx ＋ 2 是曲线 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ 3 处的切线，令 g ( x ) ＝ xf ( x ) ，其中 g ′( x ) 是 g ( x ) 的导函数，则 g ′(3) ＝ ________ ． 【 答案 】 (1)C 　 (2)0 易错警示系列 4 求曲线的切线方程条件审视不准致误 【 典例 】 ( 12 分 ) 若存在过点 O (0 ， 0) 的直线 l 与曲线 y ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2 x 和 y ＝ x 2 ＋ a 都相切，求 a 的值． 【 易错分析 】 由于题目中没有指明点 O (0 ， 0) 的位置情况，容易忽略点 O 在曲线 y ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2 x 上这个隐含条件，进而不考虑 O 点为切点的情况． 【 温馨提醒 】 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论 . ► 方法与技巧 1 ． f ′ ( x 0 ) 代表函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数值； ( f ( x 0 ))′ 是函数值 f ( x 0 ) 的导数，而函数值 f ( x 0 ) 是一个常数，其导数一定为 0 ，即 ( f ( x 0 ))′ ＝ 0. 2 ．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 3 ．未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程． ► 失误与防范 1 ．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导． 2 ．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3 ．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 .