高考数学专题复习课件：9-5 椭 圆 70页

§9.5 　椭　圆 [ 考纲要求 ] 　 1. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 .2. 了解圆锥曲线的简单应用 .3. 理解数形结合的思想． 1 ．椭圆的概念 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹叫做 _____ ．这两个定点叫做椭圆的 ____ ，两焦点的距离叫做椭圆的 ______ ． 椭圆 焦点 焦距 集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a >0 ， c >0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 _____ ，则集合 P 为椭圆； (2) 若 _____ ，则集合 P 为线段； (3) 若 _____ ，则集合 P 为空集． a > c a ＝ c a < c 2 ．椭圆的标准方程和几何性质 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( 　　 ) (2) 椭圆上一点 P 与两焦点 F 1 ， F 2 构成 △ PF 1 F 2 的周长为 2 a ＋ 2 c ( 其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ) ． ( 　　 ) (3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) √ 【 解析 】 当焦点在 x 轴上时， 10 － m > m － 2>0 ， 10 － m － ( m － 2) ＝ 4 ， ∴ m ＝ 4. 当焦点在 y 轴上时， m － 2>10 － m >0 ， m － 2 － (10 － m ) ＝ 4 ， ∴ m ＝ 8. 【 答案 】 C 【 解析 】 由题意知 25 － m 2 ＝ 16 ，解得 m 2 ＝ 9 ，又 m ＞ 0 ，所以 m ＝ 3. 【 答案 】 B 【 答案 】 A 4 ．如果方程 x 2 ＋ ky 2 ＝ 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ________ ． 【 答案 】 (0 ， 1) 题型一　椭圆的定义及标准方程 命题点 1 　椭圆定义的应用 【 例 1 】 (2016· 枣庄模拟 ) 如图所示，一圆形纸片的圆心为 O ， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹是 ( 　　 ) A ．椭圆　　　　　　　　　 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 【 解析 】 由条件知 | PM | ＝ | PF |. ∴ | PO | ＋ | PF | ＝ | PO | ＋ | PM | ＝ | OM | ＝ R ＞ | OF |. ∴ P 点的轨迹是以 O ， F 为焦点的椭圆． 【 答案 】 A 【 方法规律 】 (1) 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2 a >| F 1 F 2 | 这一条件． (2) 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a ， b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) 的形式． 跟踪训练 1 (1) 已知圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 36 的圆心为 M ，设 A 为圆上任一点，且点 N (2 ， 0) ，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P ，则动点 P 的轨迹是 ( 　　 ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【 解析 】 (1) 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上， 故 | PA | ＝ | PN | ，又 AM 是圆的半径， ∴ | PM | ＋ | PN | ＝ | PM | ＋ | PA | ＝ | AM | ＝ 6>| MN | ， 由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆． 【 方法规律 】 (1) 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ① 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x ， y 的范围，离心率的范围等不等关系． ② 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时 ，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (2) 求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a ， b ， c 的等式或不等式，利用 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 消去 b ，即可求得离心率或离心率的范围． (2) (2017· 湖南四县市下学期 3 月模拟 ) 已知两定点 A ( － 1 ， 0) 和 B (1 ， 0) ，动点 P ( x ， y ) 在直线 l ： y ＝ x ＋ 2 上移动，椭圆 C 以 A ， B 为焦点且经过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为 ________ ． 【 方法规律 】 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单． 跟踪训练 3 (2015· 北京 ) 已知椭圆 C ： x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 3 ，过点 D (1 ， 0) 且不过点 E (2 ， 1) 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，直线 AE 与直线 x ＝ 3 交于点 M . (1) 求椭圆 C 的离心率； (2) 若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； (3) 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由． 【 答案 】 (1)A 　 (2)A 【 温馨提醒 】 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a ， b ， c 的关系式 ( 等式或不等式 ) ，并且最后要把其中的 b 用 a ， c 表达，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 . ► 方法与技巧 1 ．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于 | F 1 F 2 | ，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．