2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试 5页

同步精选测试　等比数列前n项和的性质及应用 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是(　　) ‎ ‎【导学号：18082103】‎ A.1,1 B.－1，－‎1 C.1,0 D.－1,0‎ ‎【解析】　法一：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.‎ S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.‎ 法二：数列{an}是以－1为首项，－1为公比的等比数列，所以S9＝＝＝－1，S10＝＝0.‎ ‎【答案】　D ‎2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)‎ A.31 B.33‎ C.35 D.37‎ ‎【解析】　根据等比数列性质得＝q5，‎ ‎∴＝25，∴S10＝33.‎ ‎【答案】　B ‎3.如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝(　　)‎ A.2n－1 B.2n－1－1‎ C.2n＋1 D.4n－1‎ ‎【解析】　an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝2n－1.‎ ‎【答案】　A ‎4.在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　) ‎ ‎【导学号：18082104】‎ A.135 B‎.100 C.95 D.80‎ ‎【解析】　法一：由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，‎ 其首项为40，公比为＝.‎ 5‎ ‎∴a7＋a8＝40×＝135.‎ 法二：由得q2＝，‎ 所以a7＋a8＝q4(a3＋a4)＝60×＝135.‎ ‎【答案】　A ‎5.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a‎2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　设{an}的公比为q，由题意知q＞0，‎ a‎2a4＝a＝1，即a3＝1，S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝，所以a1＝＝4，所以S5＝＝8×＝.‎ ‎【答案】　B 二、填空题 ‎6.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.‎ ‎【解析】　设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，‎ S2n＝，S奇＝.‎ 由题意得＝.‎ ‎∴1＋q＝3，∴q＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎7.数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.‎ ‎【解析】　数列的通项公式an＝10n＋(2n－1).‎ 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.‎ ‎【答案】　(10n－1)＋n2‎ ‎8.如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________. ‎ ‎【导学号：18082105】‎ 5‎ ‎【解析】　由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，‎ ‎∴55lg x＝110.∴lg x＝2.‎ ‎∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.‎ ‎【答案】　2046‎ 三、解答题 ‎9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.‎ ‎【解】　(1)∵S1＝a1＝1，‎ 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn＝2n－1.‎ 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.‎ 当n＝1时a1＝1，不适合上式，‎ ‎∴an＝ ‎(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，‎ ‎∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.‎ ‎10.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【解】　(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，‎ 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.‎ 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).‎ ‎(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，‎ 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎＝＋＝n2＋.‎ ‎[能力提升]‎ 5‎ ‎1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　)‎ A.3∶4 B.2∶‎3 C.1∶2 D.1∶3‎ ‎【解析】　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎2.设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为(　　)‎ A.1 673 B.1 675‎ C. D. ‎【解析】　因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.‎ ‎【答案】　D ‎3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.‎ ‎【导学号：18082106】‎ ‎【解析】　设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即‎4a5＝a3，于是q2＝＝.‎ 又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.‎ 故等比数列{an}的通项公式为 an＝×－n－1＝(－1)n－1×.‎ ‎【答案】　(－1)n－1× ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N＋)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，‎ 5‎ ‎∴an＝2Sn－1＋1(n∈N＋，n＞1)，‎ ‎∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，‎ ‎∴an＋1＝3an(n∈N＋，n＞1).‎ 而a2＝‎2a1＋1＝3，∴a2＝‎3a1.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝3n－1(n∈N＋).‎ ‎∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，‎ 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.‎ 又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，‎ 设等差数列{bn}的公差为d，‎ 则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.‎ ‎∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，‎ ‎∵bn＞0(n∈N＋)，∴舍去d＝－10，取d＝2，‎ ‎∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N＋).‎ ‎(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1， ①‎ ‎∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n， ②‎ ‎∴①－②得 ‎－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，‎ ‎∴Tn＝n·3n.‎ 5‎