2020高中数学 课时分层作业5 角度问题 新人教A版必修5 8页

课时分层作业(五)　角度问题 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．在静水中划船的速度是每分钟‎40 m，水流的速度是每分钟‎20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为(　　) ‎ ‎【导学号：91432067】‎ A．15°　　　　　　　　　　 B．30°‎ C．45° D．60°‎ B　[如图所示，‎ sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°.]‎ ‎2．如图1227所示，长为‎3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处‎1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处‎2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于(　　)‎ 图1227‎ A. B. C. D. A　[由题意，可得在△ABC中，AB＝‎3.5 m，AC＝‎1.4 m，BC＝‎2.8 m，且α＋∠ACB＝π.‎ 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝.‎ 所以sin α＝，所以tan α＝＝.]‎ ‎3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　) ‎ ‎【导学号：91432068】‎ A．28海里/小时 B．14海里/小时 C．14海里/小时 D．20海里/小时 - 7 -‎ B　[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝‎20 海里，‎ AB＝12海里，∠BAC＝120°，‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°‎ ‎＝784，‎ ‎∴BC＝28海里，‎ ‎∴v＝14海里/小时．]‎ ‎4．如图1228，两座相距‎60 m的建筑物AB，CD的高度分别为‎20 m,‎50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　)‎ 图1228‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ B　[∵AD2＝602＋202＝4 000，‎ AC2＝602＋302＝4 500，‎ 在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，‎ ‎∴∠CAD＝45°.]‎ ‎5．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走‎10米后，拐弯往另一边的方向行走‎14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为(　　) ‎ ‎【导学号：91432069】‎ A．‎14米 B．‎15米 C．‎16米 D．‎‎17米 C　[如图，设DN＝x m，‎ 则142＝102＋x2－2×10×‎ xcos 60°，‎ ‎∴x2－10x－96＝0，‎ ‎∴(x－16)(x＋6)＝0，‎ ‎∴x＝16或x＝－6(舍)，‎ ‎∴N与D之间的距离为‎16米．]‎ 二、填空题 ‎6．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B - 7 -‎ 处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为________．‎ 或2　[x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，‎ 解得x＝2或x＝.]‎ ‎7．一船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. ‎ ‎【导学号：91432070】‎ ‎30　[如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，‎ ‎∠AMB＝45°，‎ 在△AMB中，‎ 由正弦定理得＝，‎ 解得BM＝30(km)．]‎ ‎8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1229所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．‎ 图1229‎ ‎7　[设机器人最快可在点C处截住足球，‎ 点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.‎ 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC 2－2AB·AC·cos A，‎ 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝.‎ ‎∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去)．‎ ‎∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]‎ 三、解答题 ‎9．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇(如图1230所示)．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值. ‎ ‎【导学号：91432071】‎ - 7 -‎ 图1230‎ ‎[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，‎ 解得x＝2.‎ 故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得sin α＝＝.‎ ‎10．岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图1231所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．‎ 图1231‎ ‎(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？‎ ‎(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．‎ ‎[解]　(1)根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，‎ 所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°.‎ 在△ABC中，由＝ 得AB＝＝＝＝5.‎ 答：海监船接到通知时，距离岛A ‎5海里．‎ - 7 -‎ ‎(2)设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，‎ 又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，‎ 所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，‎ 所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，所以2t2－t－1＝0，‎ 解得t＝1或t＝－(舍去)．‎ 所以CD＝10，所以BC＝CD，‎ 所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°，‎ 所以∠ABD＝75°＋30°＝105°.‎ 答：海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．‎ ‎(或答：海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时．)‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进‎10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为(　　) ‎ ‎【导学号：91432072】‎ A．‎5米 B．‎10米 C．‎15米 D．‎‎20米 B　[如图，由题意得，AB⊥平面BCD，‎ ‎∴AB⊥BC，AB⊥BD.‎ 设塔高AB＝x，‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，‎ 所以BC＝AB＝x，‎ 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，‎ ‎∴BD＝＝x，‎ 在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos 120°，‎ ‎∴(x)2＝x2＋100＋10x，‎ 解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.]‎ ‎2．甲船在岛A的正南B处，以每小时‎4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时‎6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)‎ A.分钟 B.分钟 - 7 -‎ C．21.5分钟 D．2.15小时 A　[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100＝282＋.‎ 当t＝时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．]‎ ‎3．如图1232所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险. ‎ ‎【导学号：91432073】‎ 图1232‎ mcos αcos β>nsin(α－β)　[在△ABM中，由正弦定理得＝，‎ 故BM＝，‎ 要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝>n.‎ ‎∴当α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．]‎ ‎4．如图1233所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝________.‎ 图1233‎ - 7 -‎ 　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理＝⇒‎ sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，‎ ‎∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝.]‎ ‎5．如图1234所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？ ‎ ‎【导学号：91432074】‎ 图1234‎ ‎[解]　设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．‎ 如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．‎ 在△OBC中，由题意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，所以∠BCO＝90°.‎ 因为BO＝120，‎ 所以BC＝60，OC＝60.‎ 故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.‎ 在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．‎ 由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.‎ 解得x＝3或x＝，‎ 因为x>1，所以x＝3.‎ - 7 -‎ 所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．‎ - 7 -‎