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  • 2021-06-19 发布

2020高中数学 课时分层作业13 等比数列 新人教A版必修5

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课时分层作业(十三) 等比数列 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.若正数a,b,c组成等比数列,则log‎2a,log2b,log‎2c一定是(  )‎ A.等差数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 A [由题意得b2=ac(a,b,c>0),‎ ‎∴log2b2=log‎2ac 即2log2b=log‎2a+log‎2c,‎ ‎∴log‎2a,log2b,log‎2c成等差数列.]‎ ‎2.等比数列{an} 中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为(  ) ‎ ‎【导学号:91432196】‎ A.3×10-5        B.3×29‎ C.128 D.3×2-5或3×29‎ D [设公比为q,则+12q=30,‎ ‎∴2q2-5q+2=0,‎ ‎∴q=2或q=,‎ ‎∴a10=a3·q7=12·27或12·7,‎ 即3×29或3×2-5.]‎ ‎3.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于(  )‎ A.6 B.-6‎ C.±6 D.±12‎ C [a==,‎ b2=(-1)(-16)=16,b=±4,‎ ‎∴ab=±6.]‎ ‎4.已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13是此数列的(  )‎ ‎【导学号:91432197】‎ - 5 -‎ A.第2项 B.第4项 C.第6项 D.第8项 B [由(2x+2)2=x(3x+3)解得x=-1(舍)或x=-4,‎ ‎∴前项为-4,公比为.‎ ‎∴由-4×n-1=-13,解得n=4.]‎ ‎5.在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于(  )‎ A.-2 B.1或-2‎ C.1 D.1或2‎ B [根据题意,代入公式 ‎ 解得:,或.]‎ 二、填空题 ‎6.已知等比数列{an}中,a1=2,且a‎4a6=‎4a,则a3=________.‎ ‎【导学号:91432198】‎ ‎1 [设等比数列{an}的公比为q,由已知条件得a=4·aq4,‎ ‎∴q4=,q2=,‎ ‎∴a3=a1q2=2×=1.]‎ ‎7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=________.‎ ‎3×2n-3 [由已知得==q7=128=27,故q=2.‎ 所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3.]‎ ‎8.在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5=________.‎ ‎【导学号:91432199】‎ ‎27 [由已知a1+a2=1,a3+a4=9,‎ ‎∴q2=9,∴q=3(q=-3舍),‎ ‎∴a4+a5=(a3+a4)q=27.]‎ 三、解答题 ‎9.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)-是否为该数列的项?若是,为第几项?‎ ‎[解] (1)因为2an=3an+1,‎ - 5 -‎ 所以=,数列{an}是公比为的等比数列,又a2·a5=,‎ 所以a5=3,由于各项均为负,‎ 故a1=-,an=-n-2.‎ ‎(2)设an=-,则-=-n-2,n-2=4,n=6,所以-是该数列的项,为第6项.‎ ‎10.数列{an},{bn}满足下列条件:a1=0,a2=1,an+2=,bn=an+1-an.‎ ‎(1)求证:{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求{bn}的通项公式.‎ ‎【导学号:91432200】‎ ‎[解] (1)证明:∵2an+2=an+an+1,‎ ‎∴===-.‎ ‎∴{bn}是等比数列.‎ ‎(2)∵b1=a2-a1=1,公比q=-,‎ ‎∴bn=1×n-1=n-1.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,‎2a2成等差数列,则等于(  )‎ A.+1 B.3+2 C.3-2 D.2-3‎ C [设等比数列{an}的公比为q,‎ 由于a1,a3,‎2a2成等差数列,‎ 则2=a1+‎2a2,即a3=a1+‎2a2,‎ 所以a1q2=a1+‎2a1q.‎ 由于a1≠0,‎ 所以q2=1+2q,解得 q=1±.‎ 又等比数列{an}中各项都是正数,‎ - 5 -‎ 所以q>0,所以q=1+.‎ 所以====3-2.]‎ ‎2.已知等比数列{an}满足a1=,a‎3a5=4(a4-1),则a2=(  )‎ ‎【导学号:91432201】‎ A.2 B.1‎ C. D. C [法一:∵a‎3a5=a,a‎3a5=4(a4-1),∴a=4(a4-1),‎ ‎∴a-‎4a4+4=0,∴a4=2.又∵q3===8,‎ ‎∴q=2,∴a2=a1q=×2=,故选C.‎ 法二:∵a‎3a5=4(a4-1),∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1),‎ 将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,‎ 解得q=2,‎ ‎∴a2=a1q=,故选C.]‎ ‎3.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且‎2a1+a2=1,则a1=________,d=________.‎  -1 [∵a2,a3,a7成等比数列,∴a=a‎2a7,‎ ‎∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+‎3a1=0.①‎ 又∵‎2a1+a2=1,∴‎3a1+d=1.②‎ 由①②解得a1=,d=-1.]‎ ‎4.设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2…an的最大值为________‎ ‎【导学号:91432202】‎ ‎64 [设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∴⇒解得 ‎∴a‎1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)‎ ‎= ‎ ‎=,当n=3或4时,‎ - 5 -‎ 取到最小值-6,‎ 此时取到最大值26,所以a‎1a2…an的最大值为64.]‎ ‎5.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.‎ ‎[解] 因为数列{cn+1-pcn}为等比数列,‎ 所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),‎ 将cn=2n+3n代入上式得,‎ ‎[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],‎ 整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,‎ 解得p=2或p=3.‎ - 5 -‎