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- 2021-06-19 发布
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课时分层作业(十三) 等比数列
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.若正数a,b,c组成等比数列,则log2a,log2b,log2c一定是( )
A.等差数列
B.既是等差数列又是等比数列
C.等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
A [由题意得b2=ac(a,b,c>0),
∴log2b2=log2ac
即2log2b=log2a+log2c,
∴log2a,log2b,log2c成等差数列.]
2.等比数列{an} 中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为( )
【导学号:91432196】
A.3×10-5 B.3×29
C.128 D.3×2-5或3×29
D [设公比为q,则+12q=30,
∴2q2-5q+2=0,
∴q=2或q=,
∴a10=a3·q7=12·27或12·7,
即3×29或3×2-5.]
3.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于( )
A.6 B.-6
C.±6 D.±12
C [a==,
b2=(-1)(-16)=16,b=±4,
∴ab=±6.]
4.已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13是此数列的( )
【导学号:91432197】
- 5 -
A.第2项 B.第4项
C.第6项 D.第8项
B [由(2x+2)2=x(3x+3)解得x=-1(舍)或x=-4,
∴前项为-4,公比为.
∴由-4×n-1=-13,解得n=4.]
5.在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于( )
A.-2 B.1或-2
C.1 D.1或2
B [根据题意,代入公式
解得:,或.]
二、填空题
6.已知等比数列{an}中,a1=2,且a4a6=4a,则a3=________.
【导学号:91432198】
1 [设等比数列{an}的公比为q,由已知条件得a=4·aq4,
∴q4=,q2=,
∴a3=a1q2=2×=1.]
7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项an=________.
3×2n-3 [由已知得==q7=128=27,故q=2.
所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3.]
8.在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5=________.
【导学号:91432199】
27 [由已知a1+a2=1,a3+a4=9,
∴q2=9,∴q=3(q=-3舍),
∴a4+a5=(a3+a4)q=27.]
三、解答题
9.在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)-是否为该数列的项?若是,为第几项?
[解] (1)因为2an=3an+1,
- 5 -
所以=,数列{an}是公比为的等比数列,又a2·a5=,
所以a5=3,由于各项均为负,
故a1=-,an=-n-2.
(2)设an=-,则-=-n-2,n-2=4,n=6,所以-是该数列的项,为第6项.
10.数列{an},{bn}满足下列条件:a1=0,a2=1,an+2=,bn=an+1-an.
(1)求证:{bn}是等比数列;
(2)求{bn}的通项公式.
【导学号:91432200】
[解] (1)证明:∵2an+2=an+an+1,
∴===-.
∴{bn}是等比数列.
(2)∵b1=a2-a1=1,公比q=-,
∴bn=1×n-1=n-1.
[冲A挑战练]
1.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于( )
A.+1 B.3+2
C.3-2 D.2-3
C [设等比数列{an}的公比为q,
由于a1,a3,2a2成等差数列,
则2=a1+2a2,即a3=a1+2a2,
所以a1q2=a1+2a1q.
由于a1≠0,
所以q2=1+2q,解得 q=1±.
又等比数列{an}中各项都是正数,
- 5 -
所以q>0,所以q=1+.
所以====3-2.]
2.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )
【导学号:91432201】
A.2 B.1
C. D.
C [法一:∵a3a5=a,a3a5=4(a4-1),∴a=4(a4-1),
∴a-4a4+4=0,∴a4=2.又∵q3===8,
∴q=2,∴a2=a1q=×2=,故选C.
法二:∵a3a5=4(a4-1),∴a1q2·a1q4=4(a1q3-1),
将a1=代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,
解得q=2,
∴a2=a1q=,故选C.]
3.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=________,d=________.
-1 [∵a2,a3,a7成等比数列,∴a=a2a7,
∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),即2d+3a1=0.①
又∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1.②
由①②解得a1=,d=-1.]
4.设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________
【导学号:91432202】
64 [设等比数列{an}的公比为q,
∴⇒解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
=
=,当n=3或4时,
- 5 -
取到最小值-6,
此时取到最大值26,所以a1a2…an的最大值为64.]
5.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.
[解] 因为数列{cn+1-pcn}为等比数列,
所以(cn+1-pcn)2=(cn-pcn-1)(cn+2-pcn+1),
将cn=2n+3n代入上式得,
[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],
整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,
解得p=2或p=3.
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