2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第76练 高考大题突破练——圆锥曲线中的定点、定值问题 Word版含解析 5页

‎1．已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)与椭圆C2：＋＝1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1相交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.‎ ‎(1)求抛物线C1的方程；‎ ‎(2)证明：MQ恒过定点．‎ ‎2．(2020·重庆一中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上滑动，若△MF1F2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得△MF1F2为直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．‎ ‎3.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．‎ ‎(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN的斜率之比为定值．‎ ‎4．(2019·河南中原名校联考)已知F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且＝(4,0)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ 答案精析 ‎1．(1)解　由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，‎ 所以p＝2，‎ 所以抛物线C1的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明　方法一　因为点P与点M关于x轴对称，所以设P(x1，y1)，‎ Q(x2，y2)，M(x1，－y1)，直线PQ的方程为y＝k(x－2)．‎ 代入y2＝4x得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.‎ 设直线MQ的方程为y＝mx＋n，‎ 代入y2＝4x得m2x2＋(2mn－4)x＋n2＝0，‎ 所以x1x2＝＝4，‎ 因为x1>0，x2>0，所以＝2，‎ 即n＝2m，‎ 所以直线MQ的方程为y＝m(x＋2)，‎ 所以直线MQ过定点(－2,0)．‎ 方法二　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ M(x3，y3)，‎ 因为点P与点M关于x轴对称，‎ 所以y3＝－y1.‎ 由题意可知直线PQ的斜率不为0，故可设直线PQ的方程为x＝ty＋2，‎ 代入y2＝4x得y2－4ty－8＝0，‎ 所以y1y2＝－8，设直线MQ的方程为x＝my＋n，代入y2＝4x得y2－4my－4n＝0，‎ 所以y2y3＝－4n.‎ 因为y3＝－y1，所以y2(－y1)＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2.‎ 所以直线MQ的方程为x＝my－2，必过定点(－2,0)．‎ ‎2．解　(1)由对称性知，点M在短轴端点时，‎ ‎△MF1F2为直角三角形且∠F1MF2＝90°，＝4，‎ ‎∴b＝c且S＝·2c·b＝bc＝4，‎ 解得b＝c＝2，a2＝b2＋c2＝8，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝t(y－1)，‎ 联立 消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 令y＝0，则x＝－t，∴Q(－t,0)，‎ ‎∵＝λ，∴y1＝λ(y1－1)，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎∵＝μ，∴y2＝μ(y2－1)，‎ ‎∴μ＝.‎ ‎∴λ＋μ＝＋ ‎＝＝.‎ ‎3．(1)解　设直线AM的方程为x＝my＋p，‎ 代入y2＝2px，得y2－2mpy－2p2＝0，‎ 则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明　设B(x3，y3)，N(x4，y4)．‎ 由(1)可知，y3y4＝－2p2，同理可得，y1y3＝－p2.‎ 又直线AB的斜率kAB＝＝，‎ 直线MN的斜率kMN＝＝，‎ ‎∴＝＝＝＝2.‎ 故直线AB与直线MN的斜率之比为定值．‎ ‎4．解　(1)设M(x0，y0)，‎ 由题意知F，‎ 所以＝＝(4,0)，‎ 所以则 将其代入x2＝2py(p>0)中，得16＝p2，解得p＝4或p＝－4(舍)，‎ 所以抛物线C的方程为x2＝8y.‎ ‎(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b，‎ 联立整理x2－8kx－8b＝0，‎ 则x1＋x2＝8k，‎ x1x2＝－8b，‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，‎ 设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2＋b)．‎ 由条件设切线的方程为y＝kx＋t(t≠b)，‎ 联立整理得x2－8kx－8t＝0.‎ 因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝64k2＋32t＝0，‎ 所以t＝－2k2.‎ 则x2－8kx＋16k2＝0，解得x＝4k，所以y＝2k2.‎ 所以切点N的坐标为(4k,2k2)，‎ 又点Q的坐标为(4k,4k2＋b)，‎ 所以NQ⊥x轴，所以|NQ|＝4k2＋b－2k2＝2k2＋b，‎ 因为|x1－x2|＝3，‎ 所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64k2＋32b，‎ 所以2k2＋b＝，‎ 所以S△ABN＝|NQ|·|x1－x2|‎ ‎＝(2k2＋b)·|x1－x2|＝.‎ 所以△ABN的面积为定值，且定值为.‎