高考数学专题复习课件：6-2 等差数列及其前 48页

§6.2 　等差数列及其前 n 项和 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解等差数列的概念 .2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 .3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 .4. 了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 1 ． 等差数列的有关概念 (1) 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 ___ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 __ 表示，定义表达式为 ____________________________________ 或 _________________________ ． 2 同一个常数 d a n － a n － 1 ＝ d ( 常数 )( n ∈ N * ， n ≥ 2) a n ＋ 1 － a n ＝ d ( 常数 )( n ∈ N * ) 3 ． 等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m ＋ _________ ( n ， m ∈ N * ) ． (2) 若 { a n } 为等差数列，且 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈ N * ) ，则 ________________ ． (3) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 { a 2 n } 也是等差数列，公差为 _____ ． (4) 若 { a n } ， { b n } 是等差数列，公差为 d ，则 { pa n ＋ qb n } 也是等差数列． ( n － m ) d a k ＋ a l ＝ a m ＋ a n 2 d (5) 若 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 a k ， a k ＋ m ， a k ＋ 2 m ， … ( k ， m ∈ N * ) 是公差为 ____ 的等差数列． (6) 数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 也是等差数列． (7) S 2 n － 1 ＝ (2 n － 1) a n . md 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( 　　 ) (2) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是对任意 n ∈ N * ，都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 .( 　　 ) (3) 等差数列 { a n } 的单调性是由公差 d 决定的． ( 　　 ) (4) 数列 { a n } 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数． (5) 数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ n ，则数列 { a n } 是等差数列． ( 　　 ) (6) 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ pn ＋ q ( 其中 p ， q 为常数 ) ，则数列 { a n } 一定是等差数列． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) √ 1 ． (2015· 重庆 ) 在等差数列 { a n } 中，若 a 2 ＝ 4 ， a 4 ＝ 2 ，则 a 6 等于 ( 　　 ) A ．－ 1 　　　　　　　　 B ． 0 C ． 1 D ． 6 【 解析 】 由等差数列的性质，得 a 6 ＝ 2 a 4 － a 2 ＝ 2 × 2 － 4 ＝ 0 ，选 B. 【 答案 】 B 2 ． (2016· 全国卷 Ⅰ ) 已知等差数列 { a n } 前 9 项的和为 27 ， a 10 ＝ 8 ，则 a 100 ＝ ( 　　 ) A ． 100 B ． 99 C ． 98 D ． 97 【 解析 】 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，因为 { a n } 为等差数列，且 S 9 ＝ 9 a 5 ＝ 27 ，所以 a 5 ＝ 3. 又 a 10 ＝ 8 ，解得 5 d ＝ a 10 － a 5 ＝ 5 ，所以 d ＝ 1 ，所以 a 100 ＝ a 5 ＋ 95 d ＝ 98 ，选 C. 【 答案 】 C 3 ．在等差数列 { a n } 中，已知 a 4 ＋ a 8 ＝ 16 ，则该数列前 11 项和 S 11 等于 ( 　　 ) A ． 58 B ． 88 C ． 143 D ． 176 【 答案 】 B 4 ．设数列 { a n } 是等差数列，若 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 12 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 等于 ( 　　 ) A ． 14 B ． 21 C ． 28 D ． 35 【 解析 】 ∵ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 a 4 ＝ 12 ， ∴ a 4 ＝ 4 ， ∴ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ＝ 7 a 4 ＝ 28. 【 答案 】 C 5 ．已知数列 { a n } 对任意的 p ， q ∈ N * 满足 a p ＋ q ＝ a p ＋ q q ，且 a 2 ＝－ 6 ，那么 a 10 等于 ( 　　 ) A ．－ 165 B ．－ 33 C ．－ 30 D ．－ 21 【 解析 】 由 a p ＋ q ＝ a p ＋ a q ，得 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a 1 ， ∴ 数列 { a n } 成等差数列，且公差 d ＝ a 1 . ∴ a 2 ＝ a 1 ＋ d ＝－ 6 ， 得 a 1 ＝ d ＝－ 3 ， a 10 ＝－ 3 ＋ 9 × ( － 3) ＝－ 30. 【 答案 】 C 题型一　等差数列基本量的运算 【 例 1 】 (1) (2016· 浙江温州五校上学期开学测试 ) 已知等差数列 { a n } 中第 2 项为 606 ，前 4 项和 S 4 为 3 834 ，则该数列第 4 项为 ( 　　 ) A ． 2 004 　　　　　　　　　 B ． 3 005 C ． 2 424 D ． 2 016 【 答案 】 (1)D 　 (2)A 【 方法规律 】 (1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a 1 和公差 d ，然后由通项公式或前 n 项和公式转化为方程 ( 组 ) 求解． (2) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a 1 ， a n ， d ， n ， S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． 跟踪训练 1 (1) (2015· 课标全国 Ⅱ ) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 3 ，则 S 5 等于 ( 　　 ) A ． 5 B ． 7 C ． 9 D ． 11 (2) (2016· 江苏 ) 已知 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项和．若 a 1 ＋ a ＝－ 3 ， S 5 ＝ 10 ，则 a 9 的值是 ________ ． 【 答案 】 (1)A 　 (2)20 【 方法规律 】 等差数列的四个判定方法 (1) 定义法：证明对任意正整数 n 都有 a n ＋ 1 － a n 等于同一个常数． (2) 等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 后，可递推得出 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ＝ a n － a n － 1 ＝ a n － 1 － a n － 2 ＝ … ＝ a 2 － a 1 ，根据定义得出数列 { a n } 为等差数列． (3) 通项公式法：得出 a n ＝ pn ＋ q 后，得 a n ＋ 1 － a n ＝ p 对任意正整数 n 恒成立，根据定义判定数列 { a n } 为等差数列． (4) 前 n 项和公式法：得出 S n ＝ An 2 ＋ Bn 后，根据 S n ， a n 的关系，得出 a n ，再使用定义法证明数列 { a n } 为等差数列． 题型三　等差数列的性质及应用 命题点 1 　等差数列的性质 【 例 3 】 (1) (2016· 洛阳统考 ) 在等差数列 { a n } 中， a 3 ＋ a 9 ＝ 27 － a 6 ， S n 表示数列 { a n } 的前 n 项和，则 S 11 ＝ ( 　　 ) A ． 18 　　　　　　 B ． 99 C ． 198 D ． 297 (2) (2016· 常德一模 ) 已知 { a n } 为等差数列，若 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 5 ， a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 10 ，则 a 19 ＋ a 20 ＋ a 21 ＝ ________ ． 【 答案 】 (1)B 　 (2)20 命题点 2 　等差数列前 n 项和的最值 【 例 4 】 在等差数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 20 ，前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝ S 15 ，求当 n 取何值时， S n 取得最大值，并求出它的最大值． ∵ n ∈ N * ， ∴ 当 n ＝ 12 或 13 时， S n 有最大值，且最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 方法三　 由 S 10 ＝ S 15 得 a 11 ＋ a 12 ＋ a 13 ＋ a 14 ＋ a 15 ＝ 0. ∴ 5 a 13 ＝ 0 ，即 a 13 ＝ 0. ∴ 当 n ＝ 12 或 13 时， S n 有最大值，且最大值为 S 12 ＝ S 13 ＝ 130. 【 引申探究 】 例 4 中，若条件 “ a 1 ＝ 20 ” 改为 a 1 ＝－ 20 ，其他条件不变，求当 n 取何值时， S n 取得最小值，并求出最小值． 跟踪训练 3 (1) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 5 ＋ a 7 ＝ 4 ， a 6 ＋ a 8 ＝－ 2 ，则当 S n 取最大值时， n 的值是 ( 　　 ) A ． 5 　　　　　　　　　　　 B ． 6 C ． 7 D ． 8 (2) (2016· 湖南株洲二中月考 ) 已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，且 S 6 ＞ S 7 ＞ S 5 ，给出下列五个命题： ① d ＜ 0 ； ② S 11 ＞ 0 ； ③ S 12 ＜ 0 ； ④ 数列 { S n } 中的最大项为 S 11 ； ⑤ | a 6 | ＞ | a 7 |. 其中正确命题的个数是 ( 　　 ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 1 (3) 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 20 ，公差 d ＝－ 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为 ________ ． 【 解析 】 (1) 依题意得 2 a 6 ＝ 4 ， 2 a 7 ＝－ 2 ， a 6 ＝ 2 ＞ 0 ， a 7 ＝－ 1 ＜ 0 ；又数列 { a n } 是等差数列，因此在该数列中，前 6 项均为正数，自第 7 项起以后各项均为负数，于是当 S n 取最大值时 ， n ＝ 6 ，选 B. 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 　 (3)110 高频小考点 6 等差数列的前 n 项和及其最值 【 典例 】 (1) 在等差数列 { a n } 中， 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ＋ 3( a 7 ＋ a 9 ) ＝ 54 ，则此数列前 10 项的和 S 10 等于 ( 　　 ) A ． 45 B ． 60 C ． 75 D ． 90 (2) 在等差数列 { a n } 中， S 10 ＝ 100 ， S 100 ＝ 10 ，则 S 110 ＝ ________ ． (3) 等差数列 { a n } 中，已知 a 5 ＞ 0 ， a 4 ＋ a 7 ＜ 0 ，则 { a n } 的前 n 项和 S n 的最大值为 ( 　　 ) A ． S 4 B ． S 5 C ． S 6 D ． S 7 【 思维点拨 】 (1) 求等差数列前 n 项和，可以通过求解基本量 a 1 ， d ，代入前 n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质： a 1 ＋ a n ＝ a 2 ＋ a n － 1 ＝ … ； (2) 求等差数列前 n 项和的最值，可以将 S n 化为关于 n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项． 【 答案 】 (1)A 　 (2) － 110 　 (3)B 【 温馨提醒 】 (1) 利用函数思想求等差数列前 n 项和 S n 的最值时，要注意到 n ∈ N * ； (2) 利用等差数列的性质求 S n ，突出了整体思想，减少了运算量 . ► 方法与技巧 1 ．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于 a 1 ， d 的方程组进行求解． 2 ．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前 n 项和公式法判定一个数列是否为等差数列． 3 ．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量． 4 ．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为 (1) a ， a ＋ d ， a ＋ 2 d ； (2) a － d ， a ， a ＋ d ； (3) a － d ， a ＋ d ， a ＋ 3 d 等，可视具体情况而定． ► 失误与防范 1 ．当公差 d ≠ 0 时，等差数列的通项公式是 n 的一次函数，当公差 d ＝ 0 时， a n 为常数． 2 ．公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数，且常数项为 0. 若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列 .