高中数学必修1教案：第五章（第13课时）正弦定理、余弦定理（1） 5页

课 题：正弦定理、余弦定理（1）‎ 教学目的：‎ ‎⑴使学生掌握正弦定理 ‎⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？‎ ‎——提出课题：正弦定理、余弦定理 ‎ 二、讲解新课：‎ 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，‎ 即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径）‎ ‎ 1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 ‎ 即　　c=， c= ， c=． ‎ ‎∴==‎ ‎2．斜三角形中 ‎ 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC=‎ ‎ 两边同除以即得：==‎ 证明二：（外接圆法）‎ 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ‎∴‎ 同理 =2R，＝2R 证明三：（向量法）‎ 过A作单位向量垂直于 由　+= ‎ 两边同乘以单位向量 得 •(+)=•‎ 则•+•=•‎ ‎∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)‎ ‎∴ ∴=‎ 同理，若过C作垂直于得： = ∴==‎ 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： ‎ ‎1．两角和任意一边，求其它两边和一角；‎ ‎2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:‎ ‎⑴若A为锐角时:‎ ‎⑵若A为直角或钝角时:‎ 三、讲解范例：‎ 例1 已知在 解：‎ ‎∴‎ 由得 ‎ 由得 例2 在 解：∵‎ ‎∴‎ 例3 ‎ 解：‎ ‎，‎ 例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论 证明：在△ABD内，利用正弦定理得：‎ 在△BCD内，利用正弦定理得： ‎∵BD是B的平分线 ‎∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC ‎∵∠ADB＋∠BDC＝180° ‎∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC ‎∴‎ ‎∴‎ 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用 四、课堂练习：‎ ‎1在△ABC中，,则k为( ) A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)‎ ‎2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( ) A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形 ‎3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎4在△ABC中，求证：‎ 参考答案：1A，2A3C ‎4‎ 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业：‎ ‎1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列 证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B） cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B ‎2cos2B＝cos2A＋cos2C ‎∴2sin2B＝sin2A＋sin2C 由正弦定理可得2b2＝a2＋c2‎ 即a2，b2，c2成等差数列 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎