高中数学第6章（第4课时）算术平均数与几何平均数（1） 7页

课 题：算术平均数与几何平均数（1）‎ 教学目的：‎ ‎1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 ‎2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 ‎3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力 教学重点：均值定理证明 教学难点：等号成立条件 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(对称性)‎ ‎ 即：a>bbb 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)‎ ‎ 即a>b，b>ca>c 定理3：如果a>b，那么a+c>b+c．‎ ‎ 即a>ba+c>b+c 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则) ‎ ‎ 即a>b， c>d a+c>b+d．‎ 定理4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；‎ ‎ 如果a>b，且c<0，那么acb >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)‎ 推论2 若 定理5 若 二、讲解新课：‎ ‎1．重要不等式：‎ 如果 证明：‎ 当 所以，，即 由上面的结论，我们又可得到 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 证明：∵‎ ‎，即 显然，当且仅当 说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件 ‎3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”‎ 以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即 这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立 三、讲解范例：‎ 例1 已知x,y都是正数，求证：‎ ‎（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 ‎（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 证明：因为x,y都是正数，所以 ‎ ‎（1）积xy为定值P时，有 ‎ 上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值 ‎（2）和x+y为定值S时，有 ‎ 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：‎ ⅰ）函数式中各项必须都是正数;‎ ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；‎ ⅲ）等号成立条件必须存在 例2 已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：‎ 分析：本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题 证明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）‎ ‎∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ‎∴ax－ay＋by－bx＞0‎ ‎∴（ax－bx）－（ay－by）＞0‎ ‎∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b与x－y同号 ‎∴均为正数 ‎∴＝2‎ ‎(当且仅当时取“＝”号)‎ ‎∴≥2‎ 点评：我们在运用重要不等式a2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了而运用定理：“”时，必须使a、b满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法 四、课堂练习：‎ ‎1已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果 答案：∵a，b，c都是正数 ‎∴a＋b≥2＞0；b＋c≥2＞0；c＋a≥2＞0‎ ‎∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc ‎2已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；‎ ‎(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3‎ 分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形 答案：∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0‎ ‎(1)＝2即≥2‎ ‎(2)x＋y≥2＞0；x2＋y2≥2＞0；x3＋y3≥2＞0‎ ‎∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3‎ 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3‎ ‎3求证：（）2≤‎ 分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键 答案：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2‎ ‎∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2‎ 不等式两边同除以4，得 ‎≥（）2，即（）2≤‎ 五、小结 ：本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 六、课后作业：‎ ‎(1)“a＋b≥‎2‎‎”‎是“a∈R＋，b∈R＋”的(B )‎ A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 ‎(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(A )‎ Ab Ba2＋b2 Ｃ2ab D ‎ ‎(3)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( B )‎ A1≤ab≤ Bab＜1＜ Cab＜＜1 D ＜ab＜1‎ ‎(4)已知a，b∈R＋且a＋b＝4，则下列各式恒成立的是(B )‎ A B≥1 Ｃ≥2 D ‎(5)若a＞b＞0，则下面不等式正确的是( C )‎ A B C D ‎(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（D ）‎ ‎①a2＋3ab＞2b2 ②a５＋b５＞a3b2＋a2b3 ③a2＋b2≥2（a－b－1） ④＞2‎ A4 B3 Ｃ2 D1‎ ‎(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p＝logc，q＝，r＝，则p，q，r的大小关系是(C )‎ Ap＞q＞r Bp＜q＜r Cr＜P＜q Dp＜r＜q ‎(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥2‎ 证明：∵x＞y＞0，xy＝1 ∴‎ ‎≥2＝2 ，即≥2‎ ‎(9)已知a＞2，求证：loga（a－1）·loga（a＋1）＜1‎ 证明：∵a＞2 ∴loga(a－1)＞0,loga(a＋1)＞0,loga(a－1)≠loga(a＋1)‎ ‎∴loga（a－1）·loga（a＋1）＜［］2‎ ‎＝［loga（a2－1））2＜（logaa2）2＝1‎ 即loga（a－1）·loga（a＋1）＜1‎ ‎(10)已知a，b∈R，证明：log2（‎2a＋2b）≥‎ 证明：∵a，b∈R ‎∴log2（‎2a＋2b）≥log2（2）＝log2（2·2）＝1＋‎ ‎＝,即log2（‎2a＋2b）≥‎ ‎(11)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，‎ 求证：‎ 证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1‎ ‎∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）‎ ‎∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］·（）‎ ‎≥3·×3·＝９‎ 故 ‎(12)已知方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0，求证：方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2‎ 证明：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一根x1＞0‎ ‎∴ax12＋bx1＋c＝0,∴a＋＝0‎ ‎∴c（）2＋b·＋a＝0(方程cx2＋bx＋a＝0必有一根＞0)‎ ‎∴x1＋x2＝x1＋≥2‎ 故方程cx2＋bx＋a＝0必有一根x2，使得x1＋x2≥2‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎