2020年高中数学第四章圆与方程4 5页

‎4.3 空间直角坐标系 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．给出下列说法：(1)在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0，b，c)；(3)在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；(4)在空间直角坐标系中，在xOz轴上的点的坐标可记作(a,0，c)．其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由空间直角坐标系的概念可知，(1)错，(2)(3)(4)正确．‎ 答案：C ‎2．点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(　　)‎ A．(－2,0,2) B．(－2,0,0)‎ C．(0, 1,2) D．(－2,1,0)‎ 解析：点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(－2,0,0)． ‎ 答案：B ‎3．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标是(　　)‎ A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)‎ C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)‎ 解析：点关于x轴对称，横坐标不变，其他符号相反．‎ 答案：B ‎4．若点P(x,2,1)到M(1,1,2)，N(2,1,1)的距离相等，则x＝(　　)‎ A. B．‎1 C. D．2‎ 解析：由空间两点间距离公式可得 ＝‎ ，解得x＝1.‎ 答案：B ‎5．以正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：画出图形(图略)即知CC1的中点的坐标为.‎ 5‎ 答案：C ‎6．已知A(1,2,1)，B(2,2,2)．若点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．‎ 解析：设点P(0,0，z)，由已知得＝，解得z＝3，故点P的坐标为(0,0,3)．‎ 答案：(0,0,3)‎ ‎7．以原点为球心，以5为半径的球面上的动点P的坐标为P(x，y，z)，则x，y，z满足关系式________．‎ 解析：由空间两点间距离公式可得x2＋y2＋z2＝25.‎ 答案：x2＋y2＋z2＝25‎ ‎8．如图是一个正方体截下的一角PABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．‎ 解析：由题知，A(a,0,0)，B(0， b,0)，C(0,0，c)，由重心坐标公式得G的坐标为.‎ 答案： ‎9.如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a.‎ ‎(1)求B1关于平面xOy对称的点的坐标；‎ ‎(2)求B1关于z轴对称的点的坐标；‎ ‎(3)求B1关于原点对称的点的坐标．‎ 解析：∵正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为a，‎ ‎∴易求得点B1的坐标为(a，a，a)．‎ ‎(1)B1关于平面xOy对称的点的坐标为(a，a，－a)；‎ ‎(2)B1关于z轴对称的点的坐标为(－a，－a，a)；‎ ‎(3)B1关于原点对称的点的坐标为(－a，－a，－a)．‎ ‎10．已知点A(0,1,0)、B(－1,0，－1)、C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．‎ 解析：∵PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，‎ ‎∴|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，‎ 5‎ 即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，‎ 即x＋z＝1. ①‎ 又∵PA⊥AC，∴△PAC为直角三角形，‎ ‎∴|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，‎ 即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋0＋1，‎ 即2x＋z＝0. ②‎ 由①②得∴点P的坐标为P(－1,0,2)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．在yOz平面上求与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点P的坐标为(　　)‎ A．(1,0，－2) B．(0,1，－2)‎ C．(－2,1,0) D．(0，－2,1)‎ 解析：设P(0，y，z)，由题意所以 即解得 所以点P的坐标为(0,1，－2)．‎ 答案：B ‎2．一束光线自点P(1,1,1)关于xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所走的路程是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P′(1,1，－1)，∴|P′Q|＝＝.‎ 答案：D ‎3.如图，三棱锥ABCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：过点C作CM∥AB，以C为坐标原点，CD所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CM所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则D(2,0,0)，E(1,0,0)，A(0,1,1)，‎ ‎∴AE＝ ＝.‎ 答案：B ‎4．在空间直角坐标系中，xOy平面内的直线x＋y＝1上的点M为________时，M到点N(6,5,1)的距离最小，最小值为________．‎ 解析：设点M(x,1－x,0)，则 5‎ ‎|MN|＝ ‎＝.‎ 故当x＝1时，|MN|min＝，对应的点M1(1,0,0)．‎ 答案：(1,0,0)　 ‎5.如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱AB、CD的中点．‎ ‎(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A，B，C，D的坐标．‎ ‎(2)求EF的长．‎ 解析：(1)设底面正三角形BCD的中心为点O，连接AO，DO，延长DO交BC于点M，则AO⊥平面BCD，M是BC的中点，且DM⊥BC，过点O作ON∥BC，交CD于点N，则ON⊥DM，故以O为坐标原点，OM，ON，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵正四面体ABCD的棱长为1，O为底面△BCD的中心．‎ ‎∴OD＝·DM＝ ＝，OM＝DM＝.‎ OA＝＝ ＝.‎ ‎∴A，B，C，‎ D.‎ ‎(2)由(1)及中点坐标公式得E，‎ F，‎ ‎∴|EF|＝ ＝.‎ ‎6.如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．‎ ‎(1)当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；‎ ‎(2)当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ 解析：(1)∵正方体的棱长为1，P是AB的中点，‎ ‎∴P.‎ 5‎ ‎∵2|CQ|＝|QD|，‎ ‎∴|CQ|＝，Q.‎ 由两点间的距离公式得 ‎|PQ|＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)如图所示，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy.设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x，由正方体的棱长为1，得|AE|＝(1－x)．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴|PE|＝＝1－x，‎ ‎∴P(x，x,1－x)．‎ 又∵Q，‎ ‎∴|PQ|＝ ‎＝ ‎＝ .‎ ‎∴当x＝时，|PQ|min＝，点P的坐标为，即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为.‎ 5‎