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- 2021-06-19 发布
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第1讲 不等关系与不等式
一、知识梳理
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab，ab>0⇒<；
②a<0b>0，d>c>0⇒>.
(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)；
②>；<(b－m>0)．
二、教材衍化
1． ＋1(填“>”“<”或“＝”)．
答案：<
2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)
解析：－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0.
答案：充分不必要
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)不等号的传递性中同向问题；
(2)可乘性中的乘正负数问题．
1．设a>b，a，b，c∈R，则下列结论正确的是( )
A．ac2>bc2 B.>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：选C.当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，无意义，所以选项B错误；因为a>b，所以a－c>b－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a2b>0，m>0，则( )
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．
【解】 (1)选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.
即－<0.所以<.
(2)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·
＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
【迁移探究】 若本例(1)的条件不变，试比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以a－b>0，m(a－b)>0.
(1)当a>m时，a(a－m)>0，
所以>0，即－>0，故>.
(2)当aB
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2．已知a，b是实数，且e0，
则f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，
即函数f(x)在x>e时是减函数．
因为e，
即bln a>aln b，所以ln ab>ln ba，
则ab>ba.
答案：ab>ba
不等式的性质(师生共研)
(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，cb⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)因为a＞0＞b，c0>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C.> D．()a>()b
解析：选C.通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C.
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.
2．已知a0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
不等式性质的应用(典例迁移)
已知－1g(x)
C．f(x)0⇒f(x)>g(x)．
2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a＋b>0 D．a＋b<0
解析：选A.因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是( )
A．－na B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A.因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，所以b>a，所以c≥b>a.
5．(2020·扬州模拟)若a10，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
6．已知a，b∈R，则a2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A.若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.
2．若6b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有 ．(填正确的序号)
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是 ．
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
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