2020年高中数学第一章计数原理1 4页

‎1.2 排列与组合（习题课）‎ ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C×C＋C×C＝30种选法．‎ 答案：A ‎2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有(　　)‎ A．480 B．240‎ C．120 D．96‎ 解析：先把5本书中的两本捆起来，再分成4份即可，∴分法种数为CA＝240.‎ 答案：B ‎3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 (　　)‎ A．CA B．CA C．CA D．CA 解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是CA，故选C.‎ 答案：C ‎4．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　)‎ A．CCC B．CAA C. D．CCCA 解析：首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共C·C·C种．故选A.‎ 答案：A 4‎ ‎5．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．‎ 解析：父母应为A或B或O，C·C＝9(种)．‎ 答案：9‎ ‎6．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．‎ 解析：不同的获奖情况可分为以下两类：‎ ‎(1)有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有CA＝36种获奖情况．‎ ‎(2)有三个人各获得一张有奖奖券，有A＝24种获奖情况．‎ 故不同的获奖情况有36＋24＝60种．‎ 答案：60‎ ‎7．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．‎ 解析：两老一新时，有C×CA＝12种排法；两新一老时，有C×CA＝36种排法，故共有48种排法．‎ 答案：48‎ ‎8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)‎ 解析：按C的位置分类计算．‎ ‎①当C在第一或第六位时，有A＝120(种)排法；‎ ‎②当C在第二或第五位时，有AA＝72(种)排法；‎ ‎③当C在第三或第四位时，有AA＋AA＝48(种)排法．‎ 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．‎ 答案：480‎ ‎9．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？‎ 解析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有种，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，共有·A＝144种放法．‎ ‎10．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？‎ 4‎ 解析：分三类：‎ 第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种．‎ 第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种．‎ 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种. ‎ 故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A＋‎2C·C·A＝432.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点有(　　)‎ A．36个 B．72个 C．63个 D．126个 解析：此题可归为圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C＝126(个)．‎ 答案：D ‎2．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有 (　　)‎ A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有CA＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．‎ 答案：C ‎3．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．‎ 解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有CC＝225个．‎ 答案：225‎ ‎4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)________种．‎ 解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有‎2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有‎2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．‎ 答案：20‎ ‎5．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)‎ 4‎ ‎(1)图中有多少个矩形？‎ ‎(2)从A点走向B点最短的走法有多少种？‎ 解析：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C·C＝210个．‎ ‎(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210种走法．‎ ‎6．若对任意的x∈A，则∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合．求集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数．‎ 解析：具有伙伴关系的元素组成－1；1； ，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C＋C＋C＋C＝15.‎ 4‎