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  • 2021-06-20 发布

2020年高中数学第一章计数原理1

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‎1.2 排列与组合(习题课)‎ ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(  )‎ A.30种 B.35种 C.42种 D.48种 解析:分两类,A类选修课选1门,B类选修课选2门,或者A类选修课选2门,B类选修课选1门,因此,共有C×C+C×C=30种选法.‎ 答案:A ‎2.5本不同的书全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同的分法种数有(  )‎ A.480 B.240‎ C.120 D.96‎ 解析:先把5本书中的两本捆起来,再分成4份即可,∴分法种数为CA=240.‎ 答案:B ‎3.12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 (  )‎ A.CA B.CA C.CA D.CA 解析:从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可,所以选法种数是CA,故选C.‎ 答案:C ‎4.北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为(  )‎ A.CCC B.CAA C. D.CCCA 解析:首先从14人中选出12人共C种,然后将12人平均分为3组共种,然后这两步相乘,得.将三组分配下去共C·C·C种.故选A.‎ 答案:A 4‎ ‎5.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A,B,O,AB四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女一定不是O型,若某人的血型为O型,则父母血型所有可能情况有________种.‎ 解析:父母应为A或B或O,C·C=9(种).‎ 答案:9‎ ‎6.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ 解析:不同的获奖情况可分为以下两类:‎ ‎(1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有CA=36种获奖情况.‎ ‎(2)有三个人各获得一张有奖奖券,有A=24种获奖情况.‎ 故不同的获奖情况有36+24=60种.‎ 答案:60‎ ‎7.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种.‎ 解析:两老一新时,有C×CA=12种排法;两新一老时,有C×CA=36种排法,故共有48种排法.‎ 答案:48‎ ‎8.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)‎ 解析:按C的位置分类计算.‎ ‎①当C在第一或第六位时,有A=120(种)排法;‎ ‎②当C在第二或第五位时,有AA=72(种)排法;‎ ‎③当C在第三或第四位时,有AA+AA=48(种)排法.‎ 所以共有2×(120+72+48)=480(种)排法.‎ 答案:480‎ ‎9.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?‎ 解析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2,实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有种,然后将这三组再加上一个空盒进行全排列,共有·A=144种放法.‎ ‎10.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种?‎ 4‎ 解析:分三类:‎ 第1类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有C·C·C·C·A种.‎ 第2类,当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时,不同的排法有C·C·A种.‎ 第3类,当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时,不同的排法有C·C·A种. ‎ 故满足题意的所有不同的排法种数共有C·C·C·C·A+‎2C·C·A=432.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知圆上有9个点,每两点连一线段,则所有线段在圆内的交点有(  )‎ A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 解析:此题可归为圆上9个点可组成多少个四边形,每个四边形的对角线的交点即为所求,所以,交点有C=126(个).‎ 答案:D ‎2.将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少放一个球,且红球和蓝球不能放在同一个盒子,则不同的放法有 (  )‎ A.18种 B.24种 C.30种 D.36种 解析:将4个小球放入3个不同的盒子,先在4个小球中任取2个作为1组,再将其与其他2个小球对应3个盒子,共有CA=36种情况,若红球和蓝球放到同一个盒子,则黑、黄球放进其余的盒子里,有A=6种情况,则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36-6=30种.‎ 答案:C ‎3.直角坐标系xOy平面上,平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条,则由这12条直线组成的图形中,矩形共有________个.‎ 解析:从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条,每一种取法对应一个矩形,因此矩形共有CC=225个.‎ 答案:225‎ ‎4.两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)________种.‎ 解析:分三种情况:恰好打3局,有2种情形;恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局,第4局赢),共有‎2C=6种情形;恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局,第5局赢),共有‎2C=12种情形.所有可能出现的情形共有2+6+12=20种.‎ 答案:20‎ ‎5.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)‎ 4‎ ‎(1)图中有多少个矩形?‎ ‎(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?‎ 解析:(1)在7条竖线中任选2条,5条横线中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成的矩形有C·C=210个.‎ ‎(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向的街道被分成4段,从A到B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有C=C=210种走法.‎ ‎6.若对任意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.求集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数.‎ 解析:具有伙伴关系的元素组成-1;1; ,2;,3;共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为C+C+C+C=15.‎ 4‎