2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题6 统计与概率2-6-解答题 2 55页

第 2 课时 　 概率与统计的综合应用 考向一　 古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题 【例 1 】 (2018· 合肥模拟 ) 在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球 , 球上分别标有数字 1,2,3,4,5. 甲 先从箱子中摸出一个小球 , 记下球上所标数字后 , 再将 该小球放回箱子中摇匀 , 然后 , 乙从该箱子中摸出一个小球 . (1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜 ( 若数字相同则为平局 ) ，求 甲获胜的概率 ① . (2) 若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于 6 ，则甲获胜，否则乙获胜，这样 规定公平吗 ② ？ 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到利用古典概型概率公式求解 ② 想到利用概率作出判断 【解析】 用 (x,y)(x 表示甲摸到的数字 ,y 表示乙摸到的数字 ) 表示甲、乙各摸一球构成的基本事件 , 则基本事件有 :(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5), 共 25 个 . (1) 设甲获胜的事件为 A, 则事件 A 包含的基本事件有 : (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4), 共 10 个 , 故所求概率 P(A)= (2) 设甲获胜的事件为 B, 乙获胜的事件为 C. 事件 B 所包 含的基本事件有 :(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1), 共 10 个 . 则 P(B)= , 所以 P(C)=1-P(B)= . 因为 P(B)≠P(C), 所以这样规定不公平 . 【拓展提升】 求解互斥事件、对立事件的概率的方法 (1) 先利用条件判断所给的事件是互斥事件 , 还是对立事件 . (2) 将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率 . (3) 准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率 . 【变式训练】 从某学校的 1 600 名男生中随机抽取 50 名测量身高 , 被 测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间 , 将测量结果 按如下方式分成八组 : 第一组 [155,160), 第二组 [160,165),…, 第八组 [190,195], 如图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图的一部分 , 第六组的人数为 4 人 . (1) 求第七组的频率 . (2) 估计该校 1 600 名男生中身高在 180 cm 以上 ( 含 180 cm) 的人数 . (3) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生 , 设他们的身高分别为 x,y, 记事件 E={(x,y)||x-y|≤5}, 求事件 E 的概率 . 【解析】 (1) 第六组的频率为 =0.08. 所以第七组的频率为 :1-0.08-5×(0.008×2+0.016+ 0.04×2+0.06)=0.06. (2) 由直方图得后三组频率和为 0.08+0.06+0.008×5 =0.18, 所以 1 600 名男生中身高在 180 cm 以上 ( 含 180 cm) 的人数为 :0.18×1 600=288( 人 ). (3) 第六组 [180,185) 的人数为 4 人 , 设为 a,b,c,d, 第八组 [190,195] 的人数为 2 人 . 设为 A,B, 则有 ab,ac,ad, bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB 共 15 种情况 . 因事件 E={(x,y)||x-y|≤5} 发生时为当且仅当随机抽 取的两名男生在同一组 , 所以事件 E 包含的基本事件为 ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB 共 7 种情况 . 故 P(E)= . 考向二　期望与方差的综合应用 【例 2 】 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品 . 生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨 , 使用设备 1 小时 , 获利 1 000 元 ; 生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨 , 使用设备 1.5 小时 , 获利 1 200 元 . 要求每天生产 B 产品的产量不超过 A 产 品产量的 2 倍 , 设备每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时 . 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W( 单位 : 吨 ) 是一个随机变量 , 其分布列为 世纪金榜导学号 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产 , 使其获利最大 , 因此每天的最大获利 Z( 单位 : 元 ) 是一个随机变量 . (1) 求 Z 的分布列和 期望 ① . (2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立 , 求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的 概率 ② . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到利用期望公式求解 ② 想到利用对立事件的概率公式求解 【解析】 (1) 设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x,y, 相应的获利为 z, 则有 ① 目标函数为 z=1 000x+1 200y. 当 W=12 时 ,① 表示的平面区域如图 1, 三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y= , 当 x=2.4,y=4.8 时 , 直线 l :y= 在 y 轴上的截 距最大 , 最大获利 Z=z max =2.4×1 000+4.8×1 200= 8 160. 当 W=15 时 ,① 表示的平面区域如图 2, 三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y= , 当 x=3,y=6 时 , 直线 l :y= 在 y 轴上的截距最 大 , 最大获利 Z=z max =3×1 000+6×1 200=10 200. 当 W=18 时 ,① 表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y= , 当 x=6,y=4 时 , 直线 l :y= 在 y 轴上的截距最大 , 最大获利 Z=z max =6×1 000+4×1 200=10 800. 故最大获利 Z 的分布列为 因此 ,E(Z)=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2= 9 708. Z 8 160 10 200 10 800 P 0.3 0.5 0.2 (2) 由 (1) 知 , 一天最大获利超过 10 000 元的概率 p 1 =P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布 ,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p 1 ) 3 =1-0.3 3 =0.973. 【拓展提升】 计算期望与方差的基本方法 (1) 已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差 , 可直接用定义或公式求 . (2) 已知随机变量 X 的期望、方差 , 求 X 的线性函数 Y=aX+b 的期望、方差和标准差 , 可直接用期望及方差的性质求 . (3) 如能分析所给随机变量服从常用的分布 ( 如两点分布、二项分布等 ), 则可直接利用它们的期望、方差公式来求 . 【变式训练】 (2019· 济南一模 )2011 年 , 国际数学协会正式宣布 , 将 每年的 3 月 14 日设为国际数学节 , 来源是中国古代数学 家祖冲之的圆周率 , 为庆祝该节日 , 某校举办的数学嘉 年华活动中 , 设计了如下有奖闯关游戏 : 参赛选手按第 一关、第二关、第三关的顺序依次闯关 , 若闯关成功 , 分别获得 5 个学豆、 10 个学豆、 20 个学豆的奖励 , 游戏 还规定 , 当选手闯过一关后 , 可以选择带走相应的学豆 , 结束游戏 ; 也可以选择继续闯下一关 , 若有任何一关没 有闯关成功 , 则全部学豆归零 , 游戏结束 . 设选手甲第一 关、第二关、第三关的成功概率分别为 选手选 择继续闯关的概率均为 , 且各关之间闯关成功互不 影响 . (1) 求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率 . (2) 设该学生所得学豆总数为 X, 求 X 的分布列与数学期望 . 【解析】 (1) 设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件 A,“ 第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件 A 1 ,“ 前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件 A 2 , 则 A 1 ,A 2 互斥 , P(A 1 )= P(A 2 )= P(A)=P(A 1 )+P(A 2 )= (2)X 所有可能的取值为 0,5,15,35, P(X=0)= P(X=5)= P(X=15)= P(X=35)= 所以 ,X 的分布列为 : E(X)=0× +5× +15× +35× = . X 0 5 15 35 P 考向三　 随机变量分布列与统计的综合 【例 3 】 (2019· 鹤岗一模 ) 经销商经销某种农产品 , 在 一个销售季度内 , 每售出 1 t 该产品获利润 500 元 , 未售 出的产品 , 每 1 t 亏损 300 元 . 根据历史资料 , 得到销售季 度内市场需求量的频率分布直方图 , 如图所示 . 经销商 为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品 . 以 X( 单位 : t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量 .T( 单位 : 元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 . 世纪金榜导学号 (1) 将 T 表示为 X 的函数 . ① (2) 根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的 概率 . ② (3) 在直方图的需求量分组中 , 以各组的区间中点值代表该组的各个值 , 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 ( 例如 : 若需求量 X∈[100,110), 则取 X=105, 且 X=105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的频率 ), 求 T 的数学期望 . ③ 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 应分段求函数表达式 ② 由频率分布直方图的几何意义求解 ③ 想到列出 T 的分布列 , 利用期望公式求解 【解析】 (1) 当 X∈[100,130) 时 ,T=500X-300(130- X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150] 时 ,T=500×130=65 000. 所以 T= (2) 由 (1) 知利润 T 不少于 57 000 元 , 当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150] 的频率为 0.7, 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3) 依题意可得 T 的分布列为 所以 E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000 ×0.3+65 000×0.4=59 400. T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 【拓展提升】 随机变量分布列与统计的综合问题的解题思路 (1) 寻找问题中随机变量的统计意义 . (2) 综合统计中相关图、表、数据 , 明确相关联的随机变量的分布特征 . (3) 根据随机变量的分布特征进一步解决相关问题 . 【变式训练】 (2019· 枣庄一模 ) 一次测试中 , 为了了解学生的学习情 况 , 从中抽取了 n 个学生的成绩 ( 满分为 100 分 ) 进行统计 . 按照 [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] 的分组作出频率分布直方图 , 并作出样本分数 的茎叶图 ( 图中仅列出得分在 [50,60), [90,100] 的数据 ). (1) 求样本容量 n 和频率分布直方图中 x,y 的值 . (2) 在选取的样本中 , 从成绩是 80 分以上 ( 含 80 分 ) 的同学中随机抽取 3 名参加志愿者活动 , 设 X 表示所抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 内的学生人数 , 求 X 的数学期望及方差 . 【解析】 (1) 由题意可知 , 样本容量 n= =40,y= ÷10=0.005, x= =0.025. (2) 由题意 , 分数在 [80,90) 内的有 4 人 , 分数在 [90,100] 内的有 2 人 , 成绩是 80 分以上 ( 含 80 分 ) 的学生共 6 人 , 从而抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生人数 X 的所有可能的取值为 1,2,3. P(X=1)= ;P(X=2)= ; P(X=3)= . 所以 ,E(X)=1× D(X)=(1-2) 2 ×