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- 2021-06-20 发布
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江苏省南通市 2012 届高三数学学科基地密卷(二)
一、选择题
1、已知集合 A={x|6x+a>0},若 1 A,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
2、某资料室在计算机使用中,产生如右表所示的编码,该编码以一定的规则排列,且从左至右以及从上
到下都是无限的.此表中,主对角线上数列 1,2,5,10,17,…的一个通项公式 = ▲ .
3、在 中,A(1,1),B(4,5),C(—1,1),
则与角 A 的平分线共线且方向相同的单位向量
为 ▲ .
4、已知函数 f(x)满足 f(1)= ,f(x)+ f(y)=4 f( ) f( )(x,y∈R),则 f(—2011)=
▲ .
5、已知二次函数 ,若函数 在 上有两个不同的零点,则
的 最 小 值 为 ▲ .
∉
na
ABC∆
4
1
2
yx +
2
yx −
2( ) ,f x x x k k Z= − + ∈ 2)()( −= xfxg 31, 2
−
)(
2)]([ 2
xf
xf +
1 1 1 1 1 1 …
1 2 3 4 5 6 …
1 3 5 7 9 11 …
1 4 7 10 13 16 …
1 5 9 13 17 21 …
1 6 11 16 21 26 …
… … … … … … …
6、已知直线 平面 ,直线 平面 ,给出下列命题:
① 若 ,则 ; ②若 ,则 ;
③ 若 ,则 ; ④若 ,则 .
其中正确命题的序号是 ▲ .
7、若复数 z 满足 (i 是虚数单位),则 z= ▲ .
8、命题 p:函数 y=tanx 在 R 上单调递增,命题 q:△ABC 中,∠A>∠B 是 sinA>sinB 的充要条件,则 p∨
q 是 ▲ 命题.(填“真”“假”)
9、某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),
随机选择了 位中学生进行调查,根据所得数据
画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到
右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小长方形
的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列,
又第一小组的频数是 10,则 ▲ .
10、把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为 ,第二次出现的点数为 ,则方程
组 只有一个解的概率为 ▲ .
11、如果 , 那么 = ▲ .
l ⊥ α m ⊂ β
/ /α β l m⊥ α β⊥ / /l m
/ /l m α β⊥ l m⊥ / /α β
( 3 ) 4i z i− =
n
=n
a b
3,
2 2.
ax by
x y
+ =
+ =
2(tan ) sin 5sin cosf x x x x= − (5)f
12、已知双曲线 的一个焦点在圆 上,则双曲线的渐近线方程
为 ▲ .
13、程序框图如下,若恰好经过 6 次循环输出结果,则 a= ▲ .
14、将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移至少 ▲ 个单位,可得一个偶函数的图象.
二、解答题
15、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 焦 点 为 的 抛 物 线 上 有 两 个 动 点 、 , 且 满 足
, 过 、 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M.
(1) 求: 的值;
(2) 证明: 为定值.
19
22
=−
m
yx 05422 =−−+ xyx
5
6
π
xoy F yx 42 = A B
FBAF λ= A B
→−−
OA
→−−
⋅OB
ABFM ⋅
Y
结束
开始 0, 1T i← ← ( 1 )iT T a a a Z← + > ∈且 输出 T200T >
N1i i← +
16、
由一个小区历年市场行情调查得知,某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 (单位:吨)与上
市时间 (单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线 表示,销售价格 (单位:元/千克)
与上市时间 (单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物线段 表示( 为顶点).
(Ⅰ)请分别写出 , 关于 的函数关系式,并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售额最大的月份?
(Ⅱ)图(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ,动点 在 内(包括边界),求
的最大值;
(Ⅲ) 由(Ⅱ),将动点 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算(如
类比为 ),试列出 所满足的条件,并求出相应的最大值.
(图 1) (图 2)
17、
各项均为正数的等比数列 ,a1=1, =16,单调增数列 的前 n 项和为 , ,且
( ).
(Ⅰ)求数列 、 的通项公式;
(Ⅱ)令 ( ),求使得 的所有 n 的值,并说明理由.
(Ⅲ) 证明 中任意三项不可能构成等差数列.
( )P t
t ABCDE ( )Q t
t GHR H
( )P t ( )Q t t
M ( , )P x y M
5z x y= −
( , )P x y
1 2 3 3x y≤ − ≤
2
31 3x
y
≤ ≤ ( , )P x y
}{ na 2a 4a }{ nb nS 4 3a b=
26 3 2n n nS b b= + + *Nn ∈
}{ na }{ nb
n
n
n
bc a
= *Nn ∈ 1nc >
}{ na
18、
如图,已知:椭圆 M 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,AF=5BF.若椭圆 M 经过
点 C,C 在 AB 上的射影为 F,且△ABC 的面积为 5.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;
(Ⅱ)已知圆 O: =1,直线 =1,试证明:当点 P(m,n)在椭圆 M 上运动时,直线 l 与圆 O
恒相交;并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围.
19、
如图,把长、宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角.
(Ⅰ)求顶点 B 和 D 之间的距离;
(Ⅱ)现发现 BC 边上距点 C 的 处有一缺口 E,请过点 E 作一截面,将原三棱锥分割成一个三棱锥和一
个棱台两部分,为使截去部分体积最小,如何作法?请证明你的结论.
20、
已知 ABC 的面积 S 满足 ,且 =—8.
(Ⅰ)求角 A 的取值范围;
(Ⅱ)若函数 ,求 的最大值.
2 2+x y :l mx ny+
3
1
∆ 4 4 3S≤ ≤ AB AC⋅
2 2cos 2sin 3 3 sin cos
4 4 4 4
( ) x x x xf x − + ⋅= ( )f A
xO FA
F1
B
C
y
A
B
C
D
E.
A
CB E.
D
21、在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
A.选修 4—1 几何证明选讲
已知 中, , 是 外接圆劣弧 上
的点(不与点 重合),延长 至 .
求证: 的延长线平分 .
B.选修 4—2 矩阵与变换
已知矩阵 ,若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α1= ,属于特征值 5 的一个特
征向量为α2= .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵.
C.选修 4—4 参数方程与极坐标
已知圆 C 的参数方程为 ,若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点,以原点 O 为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 ,求直线 的极坐标方程.
D.选修 4—5 不等式证明选讲
设 均为正数,证明: .
ABC∆ ACAB = D ABC∆ AC
CA, BD E
AD CDE∠
=
41
baA
−1
3
1
1
( )为参数θ
θ
θ
+=
+=
sin23
,cos21
y
x
l l
cba ,, cbaa
c
c
b
b
a ++≥++
222
22、 已知一口袋中共有 4 只白球和 2 只红球
(1)从口袋中一次任取 4 只球,取到一只白球得 1 分,取到一只红球得 2 分,设得分为随机变量 X,
求 X 的分布列与数学期望;
(2)从口袋中每次取一球,取后放回,直到连续出现两次白球就停止取球,求 6 次取球后恰好被停止
的概率.
23、
如果实数 x,y,t 满足|x—t|≤|y—t|,则称 x 比 y 接近 t.
(Ⅰ)设 a 为实数,若 a|a| 比 a 更接近 1,求 a 的取值范围;
(Ⅱ)f(x)=ln ,证明: 比 更接近 0(k∈Z).
以下是答案
一、选择题
1、
2、(n—1)2+1
3、
4、
5、
6、①③
7、—1+
1
1
+
−
x
x
2
( )
n
k
f k
=
∑ 22
2 ( 1)
n n
n n
− −
+
( , 6]−∞ −
)5
52,5
5(−
1
4
28
81
3i
8、 真
9、 100
10、
11、0
12、
13、2
14、
二、解答题
15、解:设
焦点 F(0,1)
消 得
化简整理得
(定值)
(2)抛物线方程为
过抛物线 A、B 两点的切线方程分别为 和
11
12
xy 3
22±=
3
π
)4,(),4,(
2
2
2
2
1
1
xxBxxA
∴ )14,(),41,(
2
2
2
2
1
1 −=−−= xxFBxxAF
FBAF λ=
∴
−=−
=−
)14(41
2
2
2
1
21
xx
xx
λ
λ
λ 0)41()14(
2
1
2
2
2
1 =−+− xxxx
0)14)(( 21
21 =+− xxxx
21 xx ≠ 421 −=∴ xx
144
2
2
2
1
21 =⋅=∴ xxyy
∴ 32121 −=+=⋅ yyxxOBOA
2
4
1 xy = xy 2
1=′∴
∴
4)(2
1 2
1
11
xxxxy +−=
4)(2
1 2
2
22
xxxxy +−=
即 和
联立解出两切线交点 的坐标为
= (定值)
16、解(Ⅰ)
.
(
在 恒成立,所以函数在 上递增
当 t=6 时, =34.5. ∴6 月份销售额最大为 34500 元 .
(Ⅱ) ,z=x—5y.
令 x—5y=A(x+y)+B(x—y),则 ,
∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由 , ,
∴ ,则(z)max=11 .
(Ⅲ)类比到乘法有已知 ,求 的最大值.由 =( )A·( )B
.∴ ,
∴ ,则(z)max= .
42
1 2
1
1
xxxy −=
42
1 2
2
2
xxxy −=
M
−+
1,2
21 xx
−−
−+=⋅∴
4,2.2
2
1
2
2
12
21 xxxxxxABFM 022
2
1
2
2
2
1
2
2 =−−− xxxx
5 0 3,
1 3 6,( ) 11 6 9,
7 9 12
t t
t tP t t t
t t
− + ≤ ≤
− < ≤= − + < ≤
− < ≤
21( ) ( 4) 6 (0 12)16Q t t t= − − + ≤ ≤
21( ) ( ) ( 1)[ ( 4) 6]16P t Q t t t⋅ = − − − + 3 6)t< ≤
' 23( ( ) ( )) [( 3) 33]16P t Q t t⋅ = − − − 0> (3,6]t ∈ ]6,3(
max[ ( ) ( )]P t Q t
≤−≤
≤+≤
71
115
yx
yx
=
−=⇒
−=−
=+
3
2
5
1
B
A
BA
BA
10)(222 −≤+−≤− yx 21)(33 ≤−≤ yx
19 11z− ≤ ≤
≤≤
≤≤
71
115
y
x
xy
5y
xz =
5y
x xy y
x
=
−=⇒
−=−
=+
3
2
5
1
B
A
BA
BA
25
1)(121
1 2 ≤≤ −xy 343)(1 3 ≤≤ xy
25
343
121
1 ≤≤ z 25
343
17、(Ⅰ)∵ = , =4,∵ ,∴q=2, ∴
∴b3= =8. ∵ +2 ①
当 n≥2 时, +2 ②
①-②得 即
∵ ∴ =3,∴ 是公差为 3 的等差数列.
当 n=1 时, +2,解得 =1 或 =2,
当 =1 时, ,此时 =7,与 矛盾;当 时 ,此时此时 =8= ,∴
.
(Ⅱ)∵ ,∴ = ,∴ =2>1, = >1, =2>1, >1, <1,下面
证明当 n≥5 时,
事实上,当 n≥5 时, = <0
即 ,∵ <1 ∴当 n≥5 时, ,
故满足条件 的所有 n 的值为 1,2,3,4.
(Ⅲ)假设 中存在三项 p,q,r (p
12 −= n na 4a 26 3n n nS b b= + 2 1 1 16 3n n nS b b− − −= + 2 2 1 16 3 3n n n n nb b b b b− −= − + − 1 1 1( )( ) 3( )n n n n n nb b b b b b− − −+ − = + 0>nb 1n nb b −− }{ nb 2 1 1 16 3b b b= + 1b 1b 1b 3 2nb n= − 3b 83 =b 31 =b 3 1nb n= − 3b 4a 3 1nb n= − 3 1nb n= − n n n bc a = 1 3 1 2n n − − 1c 2c 5 2 3c 4 11 8c = 5 7 8c = 1nc < 1 1 3 2 3 1 2 2n n n n n nc c+ − + −− = − 4 3 2n n− 1n nc c+ < 5 7 8c = 1nC }{ na 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 )c a cy b a a −= − = 2 2a cy a −= 2 21 2 52 a ca a −⋅ ⋅ = 2 2a c− 解(1)(2)得 a=3, c=2. ∴ =9—4=5.∴所求椭圆 M 的方程为: . (Ⅱ) 圆 O 到直线 =1 距离 d= ,由点 P(m,n)在椭圆 M 上,则 ,显然 ,∴ 1, >1, ∴d = <1, 而圆 O 的半径为 1,直线 l 与圆 O 恒相交. 弦长 t=2 =2 ,由 得 , ∴ , t=2 , , ∴ , , ∴ ,弦长 t 的取值范围是[ ]. 19、(Ⅰ) 由已知 BO= ,OD= 在 Rt△BOD 中, BD= . (Ⅱ)方案(一)过 E 作 EF//AC 交 AB 于 F,EG//CD,交 BD 于 G, , 平面 EFG//平面 ACD 2 2 2b a c= − 2 2 19 5 x y+ = :l mx ny+ 2 2 1 m n+ 2 2 19 5 m n+ = 2 2m n+ > 2 2 9 5 m n+ 2 2m n+ > 2 2m n+ 2 2 1 m n+ 21 d− 2 2 11 m n − + 2 2 19 5 m n+ = 2 2 5(1 )9 mn = − 2 2 2 1 9 4 45m n m =+ + 2 91 4 45m − + | |m a≤ 20 9m≤ ≤ 245 4 45 81m≤ + ≤ 2 4 9 815 4 45 9m ≤ − ≤+ 4 5 4 2,5 3 ACDOD ACDBO ACACDABC ABCBO 面 面 面面 面 面面 ⊂ ⊥⇒ =∩ ⊂ ⊥ ∆ ACDABC O垂足 为AC,⊥BO中作ABC在 BO OD ⇒ ⊥ 5 12 5 193 5 337 EEGEF ACD面EG//同理 // // =∩ ⇒ ⊂ ⊄ ACDEF ACDAC ACDEF ACEF 面 面 面 ⇒ A B C D E. 原三棱锥被分成三棱锥 B-EFG 和三棱台 EFG-CAD 两部分,此时 . 方案(二)过 E 作 EP//BD 交 CD 于 P,EQ//AB,交 AC 于 Q,同(一)可证平面 EPQ//平面 ABD,原三棱锥 被分割成三棱锥 C-EPQ 和三棱台 EPQ-BDA 两部分,此时 , 为使截去部分体积最小,故选用方案(二). 20、(Ⅰ)∵ =—8,∴ =—8, ∴ = ① ∵ ② 将①代入②得 ,由 ,得 , 又 ,∴ . (Ⅱ) = = = = = , 当 ,即 时, 取得最大值, 同时, 取得最大值 . 21、 A.选修 4—1 几何证明选讲 解(Ⅰ)设 为 延长线上一点 ∵ 四点共圆, ∴ 又 ∴ , 且 , ∴ , 27 8)3 2( 3 == − − ACDB EFGB V V 27 1)3 1( 3 == − − BDAC EPQC V V AB AC⋅ | | | | cosAB AC AB AC A⋅ ⋅ ⋅= | | | |AB AC⋅ 8 cos A − |1 | | | sin 2 BA ACS A⋅= ⋅ 4tanS A= − 4 4 3S≤ ≤ 3 tan 1A− ≤ ≤ − (0, )A π∈ 2 3,3 4A π π ∈ 2 2( ) cos 2sin 3 3sin cos4 4 4 4 A A A Af A = − + ⋅ 1 3 3(1 cos ) (1 cos ) sin2 2 2 2 2 A A A+ − − + 3 3 3 1sin cos2 2 2 2 2 A A+ − 3 1 13( sin cos )2 2 2 2 2 A A+ − 13(sin cos cos sin )2 6 2 6 2 A Aπ π+ − 13sin( )2 6 2 A π+ − 2 6 2 A π π+ = A = 3 2π sin( )2 6 A π+ ( )f A 5 2 F AD DCBA ,,, CDFABC ∠=∠ ACAB = ACBABC ∠=∠ ACBADB ∠=∠ CDFADB ∠=∠ 对顶角 , 故 , 即 的延长线平分 . B.选修 4—2 矩阵与变换 解:由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1= 可得, = , 即 ; 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2=[1 1 ],可得 =5 , 即 , 解得 即 A= , A 的逆矩阵是 C.选修 4—4 参数方程与极坐标 解 由题设知,圆心 ∠CPO=60°,故过 P 点的切线的倾斜角为 30° 设 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点, 则在△PMO 中,∠MOP= 由正弦定理得 ,即为所求切线的极坐标方程. D.选修 4—5 不等式证明选讲 证明: 即得 . 另证 利用柯西不等式 取 代入即证. ADBEDF ∠=∠ CDFEDF ∠=∠ AD CDE∠ −1 3 41 ba −1 3 −1 3 33 =− ba 41 ba 1 1 1 1 5=+ ba = = 3 2 b a 4 3 1 2 − − 5 2 5 3 5 1 5 4 ( ) ( )0.2,3,1 PC ( )θρ,M θ 00 150,30 =∠−=∠ OPMOMP θ ( )θ ρ −=∴∠=∠ 00 30sin 2 sin150,sinsin OMP OP OPM OM ( ) ( )( )130sin160cos 00 =−=+∴ θρθρ 或 )()()( 222222 aa ccc bbb acbaa c c b b a +++++=+++++ cba 222 ++≥ cbaa c c b b a ++≥++ 222 .2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1332211 bbbaaabababa ++++≤++ abcbbb a ca c ba b aa ====== 321321 ,,,,, 22、解:(1)X 的可能取值为 4、5、6. P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)= X 的分布列为 P 4 5 6 X (2)设 “6 次取球后恰好被停止”为事件 A 则 6 次取球后恰好被停止的概率为 23、(Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1| (1)当 0
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