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- 2021-06-20 发布
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江西省八所重点高中2012届高考数学4月模拟联考试题 理
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的实部是 ( )
A. B. C. D.
2.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U = AB,则集合 的真子集共有( )
A.3个 B.6个 C.7个 D.8个
3.要得到函数的图象,只要将函数的图象( )
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向右平移单位 D.向左平移单位
4.底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其主视图有最大面积时,其左视图的面积为( )
A. B. 3 C. D. 4
5.已知数据是江西普通职工个人的年收入,设这个数据的中位数为,平均数为,方差为,如果再加上世界首富的年收入,则这个数据中,下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。
6.在各项均为正数的等比数列中,,则下列结论中正确的是( )
A.数列是递增数列; B.数列是递减数列;
C.数列是常数列; D.数列有可能是递增数列也有可能是递减数列.
7.在△中,是边中点,角的对边分别是,若,则△的形状为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.
8.甲袋中装有3个白球5个黑球,乙袋中装有4个白球6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋,则甲袋中白球没有减少的概率为( )
A. B. C. D.
9.设、为焦点在轴且具有公共焦点、的标准椭圆和标准双曲线的的离心率,O为坐标原点, 是两曲线的一个公共点,且满足2=,则的值为( )
A.2 B. C. D.1
10.已知函数,则函数()的零点个数不可能 ( )
A.3 B.4 C 5 D.6
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.________;
12.阅读右侧程序框图,输出的结果的值为________;
13.若不等式组表示的平面区域是
一个三角形,则的取值范围是 .
14.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过个格点,则称函数为阶格点函数,下列函数:
①②;③;
④,其中是一阶格点函数的有 。
三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
15.(1)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线、的极坐标方程分别为
,,则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.
15.(2) (不等式选择题)设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 .
四. 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在锐角三角形ABC中,、、分别是角A、B、C的对边,,,且∥.
(1)求角A的大小;
(2)求函数的值域.
17.(本小题满分12分)
某公司举办一次募捐爱心演出,有1000 人参加,每人一张门票,每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动.第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数,满足电脑显示“中奖”,且抽奖者获得9000元奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中奖.
(1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(2)若小白参加了此次活动,求小白参加此次活动收益的期望
18.(本小题满分12分)
如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)
(1)求证:平面;
(2)求二面角A—DC—B的余弦值。
19.(本小题满分12分)
(1)求数列的通项公式;
20.(本小题满分13分)
设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大
求的轨迹的方程;
过作一条直线交轨迹于、两点,过,做切线交于点,再过、作的垂线,垂足为,若,求此时点的坐标.
21.(本小题满分14分)
设函数数列满足,
(1)证明:函数在是增函数;
(2)求证:
(3)若,求证:
数学(理)答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
A
B
C
C
A
B
A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11. 12. 13. 14.③④
三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分.本题共5分.
15.(1)(坐标系与参数方程选做题)
15.(2) (不等式选做题)
四. 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)在锐角三角形ABC中,、、分别是角A、B、C的对边,
,,且∥.
(1)求角A的大小;
(2)求函数的值域.
解:解:(1)由∥,得……………………………2分
∴
…………………………4分
在锐角三角形ABC中,
∴,故 …………………………6分
(2)在锐角三角形ABC中,,故…………………………7分
∴
…………………………9分
∵,∴
∴,
∴函数的值域为…………………………12分
17. 某集团公司举办一次募捐爱心演出,有1000 人参加,每人一张门票,每张100元.
在演出过程中穿插抽奖活动.第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数,满足电脑显示“中奖”,且抽奖者获得9000元奖金;否则电脑显示“谢谢”,则不中奖.
(1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中,求小明在第二轮抽奖中获奖的概率;
(2)若小白参加了此次活动,求小白参加此次活动收益的期望;
解:(Ⅰ)从0,1,2,3四个数字中有重复取2个数字,其基本事件有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共 16 个……………3分
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A,且事件A所包含的基本事件有(0,0),(2,0),(3,0),(3,1),(3,3)共5个,
∴P(A)= ……………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)设小明参加此次活动的收益为ξ,ξ的可能取值为-100,900,9900.
P(ξ=-100)=,P(ξ=900)=,P(ξ=9900)= ………9分
∴ξ的分布列为
ξ
-100
900
9900
P
∴ …………………………12分
18.(本小题满分12分)
如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)
(1)求证:平面;
(2)求二面角A—DC—B的余弦值。
18.解:
(1) 如图取BD中点M,连接AM,ME。∵
∵, ,
所以是BC为斜边的直角三角形,,
∵是的中点,∴ME为的中位线 ,
,
是二面角的平面角= …………………………3分 ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
平面AEM
∵,为等腰直角三角形,
………………6分
(2)如图,以M为原点MB为x轴,ME为y轴,建立空间直角坐标系,
则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),,
,D,C,
…………………8分
设平面ACD的法向量为
则
…………………………10分
…………………………12分
19. (本小题满分12分) 已知数列满足,
,,
求数列的通项公式;
解:由题意 ①
②
由②-①得,又
∴,故数列从第二项开始为等比数列…………………………3分
将代入①式,
∴时,
∴数列的通项
…………………………6分
(2) ∴
∵假设存在任意三项
①不防设当
…………………………9分
②假设存在成等差数列的三项中包含时
不妨设且
∴
………………………12分
20.(本小题满分13分)
设不在轴负半轴的动点到的距离比到轴的距离大
求的轨迹的方程;
过做一条直线交轨迹于,两点,过,做切线交于点,再过,做的垂线,垂足为,若,求此时点的坐标.
A
B
C
D
N
O
x
y
……………………6分
设N点坐标为(a,b)则
…………………………8分
由(1)知,所以为线段的中点,取线段的中点,
∵是抛物线的焦点,∴,∴,
∴
,
,,
∴, …………………………11分
即,所以,,
∴,
∴所求点的坐标为…………………………13分
21.(本小题满分14分)设函数数列满足,
(1)证明:函数在是增函数;
(2)求证:
(3)若,求证:
证明:(1)∵时,∴恒成立,
∴函数在是增函数;…………………………3分
…………………………5分
① 当n=1时 命题成立
② 假设当n=k时命题成立,即
恒成立…………………………8分
根据①②可知对于任意命题均成立
∵
…………………………14分
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