浙江专用2020高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形教案 17页

第2讲　三角恒等变换与解三角形 利用三角恒等变换化简、求值 ‎[核心提炼]‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)已知cos＋sin θ＝，则sin的值是(　　)‎ A．　　 　 B．　 　　C．－　　 　D．－ ‎(2)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A.　　　 B. ‎ C.或　　 D.或 ‎【解析】　(1)因为cos＋sin θ＝，‎ 所以cos θ＋sin θ＝，‎ 即＝，‎ 即sin＝，‎ 所以sin＝，‎ 所以sin＝－sin＝－.故选C.‎ - 17 -‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，故2α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又β∈，故β－α∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A 三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；‎ ‎(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．　 ‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sin cos＋4cos2 (x∈R)的最大值等于(　　)‎ A．5　　　　　　　　　　 B． C． D．2‎ 解析：选B.因为f(x)＝3sin cos ＋4cos2 ‎＝sin x＋2cos x＋2＝＋2‎ ‎＝sin(x＋φ)＋2，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝，‎ 所以函数f(x)的最大值为.‎ ‎2．(2019·浙江五校联考)已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝(　　)‎ - 17 -‎ A. B．－ C．－ D．－3‎ 解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)，‎ 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，‎ 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，‎ 又因为3tan＋tan2＝1，所以3tan＝1－tan2，‎ 所以tan α＝＝，所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.‎ ‎3．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x＝________，＝________．‎ 解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，‎ 即sin x＋cos x＝－，‎ 两边平方得：sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，‎ 由＝ ‎＝＝＝＝－.‎ 答案：－　－ 利用正、余弦定理解三角形 - 17 -‎ ‎[核心提炼]‎ ‎1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.‎ ‎3．三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．‎ ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎①证明：A＝2B；‎ ‎②若cos B＝，求cos C的值．‎ ‎【解】　(1)因为a＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.故填：　3.‎ ‎(2)①证明：由正弦定理得sin B＋sin C ‎＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋‎ sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，‎ 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，‎ 所以A＝2B.‎ ‎②由cos B＝得sin B＝，‎ cos 2B＝2cos2B－1＝－，‎ - 17 -‎ 故cos A＝－，sin A＝，‎ cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.‎ 正、余弦定理的适用条件 ‎(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理．‎ ‎(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．‎ 解析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin ∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.‎ 答案：　 ‎2．(2019·义乌高三月考)在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c＝b2－a2.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若BD为AC边上的中线，cos A＝，BD＝，‎ 求△ABC的面积．‎ 解：(1)因为c＝b2－a2，‎ 即2bccos A－ac＝2(b2－a2)，‎ 所以b2＋c2－a2－ac＝2(b2－a2)，‎ 所以a2＋c2－b2＝ac，cos B＝，B＝.‎ ‎(2)法一：在三角形ABD中，‎ 由余弦定理得＝c2＋－2c·cos A，‎ - 17 -‎ 所以＝c2＋－bc，①‎ 在三角形ABC中，由已知得sin A＝，‎ 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，‎ 由正弦定理得c＝b.②‎ 由①，②解得 所以S△ABC＝bcsin A＝10.‎ 法二：延长BD到E，DE＝BD，‎ 连接AE，在△ABE中，‎ ‎∠BAE＝，‎ BE2＝AB2＋AE2－2·AB·AE·cos ∠BAE，‎ 因为AE＝BC，‎ ‎129＝c2＋a2＋a·c，①‎ 由已知得，sin ∠BAC＝，‎ 所以sin C＝sin(A＋B)＝，‎ ＝＝.②‎ 由①②解得c＝5，a＝8，‎ S△ABC＝c·a·sin ∠ABC＝10.‎ 解三角形中的最值(范围)问题 ‎[典型例题]‎ ‎ (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2ccos B＝2a－b.‎ ‎①求角C的大小；‎ ‎②若＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎(2)(2019·杭州市高考数学二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msin A＝sin B＋sin C(m∈R)．‎ ‎①当m＝3时，求cos A的最小值；‎ - 17 -‎ ‎②当A＝时，求m的取值范围．‎ ‎【解】　(1)①因为2ccos B＝2a－b，‎ 所以2sin Ccos B＝2sin A－sin B＝2sin(B＋C)－sin B，‎ 化简得sin B＝2sin Bcos C，‎ 因为sin B≠0，所以cos C＝.‎ 因为0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎②取BC的中点D，则＝||＝2.‎ 在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos C，‎ 即有4＝b2＋－≥2－＝，‎ 所以ab≤8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号．‎ 所以S△ABC＝absin C＝ab≤2，‎ 所以△ABC面积的最大值为2.‎ ‎(2)①因为在△ABC中msin A＝sin B＋sin C，‎ 当m＝3时， 3sin A＝sin B＋sin C，‎ 由正弦定理可得3a＝b＋c，‎ 再由余弦定理可得 cos A＝＝ ‎＝≥＝，‎ 当且仅当b＝c时取等号，‎ 故cos A的最小值为.‎ ‎②当A＝时，可得m＝sin B＋sin C，‎ 故m＝sin B＋sin C ‎＝sin B＋sin ‎＝sin B＋ - 17 -‎ ‎＝sin B＋cos B＋sin B ‎＝sin B＋cos B＝2sin，‎ 因为B∈，‎ 所以B＋∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以2sin∈(1，2]，‎ 所以m的取值范围为(1，2]．‎ ‎(1)求最值的一般思路 由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcos C＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．‎ ‎(2)求三角形中范围问题的常见类型 ‎①求三角形某边的取值范围．‎ ‎②求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围．‎ ‎③求与已知有关的参数的范围或最值．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．3 解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 因为·＝|－|＝3，‎ 所以bccos A＝a＝3.‎ 又cos A＝≥1－＝1－，‎ 所以cos A≥，‎ - 17 -‎ 所以0