上海市格致中学2015-2016学年高一（上）期中数学试卷（解析版） 15页

‎2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．已知全集U=R，，则A∩∁UB=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．若函数，则f（x）•g（x）=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=的定义域是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、选择题 ‎12．给出下列命题：‎ ‎（1）∅={0}；‎ ‎（2）方程组的解集是{1，﹣2}；‎ ‎（3）若A∪B=B∪C，则A=C；‎ ‎（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．‎ 其中正确命题的个数有（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ ‎13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（　　）‎ A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 ‎　‎ ‎14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4 C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（8+8+10+14分）‎ ‎16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．‎ ‎（Ⅰ）若a=3，求P；‎ ‎（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．‎ ‎（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）‎ ‎（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；‎ ‎（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？‎ ‎　‎ ‎19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：‎ 在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f（1）成立；‎ ‎（1）请给出一个x0的值，使函数；‎ ‎（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）设函数，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．已知全集U=R，，则A∩∁UB=　{0}　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；集合．‎ ‎【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CUB={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．‎ ‎【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，‎ 而B={x|x＞}，且U=R，‎ 所以，CUB={x|x≤}，‎ 所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，‎ 即A∩CUB={0}，‎ 故答案为：{0}．‎ ‎【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．若函数，则f（x）•g（x）=　x（x＞0）　．‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．‎ ‎【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．‎ 故答案为：x（x＞0）．‎ ‎【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．函数y=的定义域是　{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．‎ 函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．‎ 故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为　（﹣∞，]　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），‎ ‎∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，‎ ‎∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，‎ 两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，‎ 解得x≤‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是　[﹣7，+∞）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，‎ 由题意可得≤，‎ 解得a≤2，‎ 则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5‎ ‎=11﹣2a≥﹣7．‎ 故答案为：[﹣7，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是　[3，+∞）　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，‎ A∩B=B，‎ ‎∴m﹣1≥2，解得m≥3，‎ ‎∴实数m的取值范围是[3，+∞）．‎ 故答案为：[3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是　“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”　．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【专题】演绎法；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．‎ ‎【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，‎ 故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”‎ ‎【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是　（0，1）∪（2，+∞）　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（﹣1）=f（1）=0，‎ 则函数f（x）对应的图象如图：‎ 即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，‎ 当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，‎ 则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，‎ 即或，‎ 即或，‎ 即x＞2或0＜x＜1，‎ 即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），‎ 故答案为：（0，1）∪（2，+∞）‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，‎ 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，‎ 即，解得﹣＜m＜0，‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，‎ ‎∴f（2）=f（﹣2）=1；‎ ‎∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，‎ ‎∴﹣2≤x+a≤2，‎ 即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，‎ ‎∴﹣1≤a≤1，‎ 故答案为：[﹣1，1]．‎ ‎【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为　3　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．‎ ‎【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，‎ 令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，‎ 解得n=（舍去），n=3；‎ 令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．‎ 取m=0．‎ ‎∴m+n=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、选择题 ‎12．给出下列命题：‎ ‎（1）∅={0}；‎ ‎（2）方程组的解集是{1，﹣2}；‎ ‎（3）若A∪B=B∪C，则A=C；‎ ‎（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁UB．‎ 其中正确命题的个数有（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．‎ ‎【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．‎ ‎【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；‎ ‎（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；‎ ‎（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；‎ ‎（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，‎ 则A⊆∁UB．故（4）正确．‎ ‎∴正确命题的个数是1个．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（　　）‎ A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．‎ ‎【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．‎ ‎【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，‎ 则△=a2﹣4＜0．‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ ‎∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（　　）‎ A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4 C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．‎ ‎【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，‎ 当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，‎ ‎∵﹣4∉P，‎ ‎∴a≥4；‎ 当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，‎ ‎∴﹣4∉P，‎ ‎∴a＜﹣3；‎ 当a+3=0时，即x∈∅，‎ ‎∴﹣4∉P，‎ 综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．‎ ‎　‎ ‎15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【专题】综合题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=，‎ 则当x=0时，f（0）=a2，‎ 由于f（0）是f（x）的最小值，‎ 则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，‎ 则有a2≤x++a，x＞0恒成立，‎ 由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，‎ 则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．‎ 综上，a的取值范围为[0，2]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题 ‎　‎ 三、解答题（8+8+10+14分）‎ ‎16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．‎ ‎（Ⅰ）若a=3，求P；‎ ‎（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．‎ ‎【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．‎ ‎（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．‎ 由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形 所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．‎ ‎【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．‎ ‎　‎ ‎17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．‎ ‎（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．‎ ‎【考点】充要条件．‎ ‎【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．‎ ‎【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；‎ ‎（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=2，‎ ‎∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．‎ 若α是β的充分不必要条件，‎ 则A⊊B，即，‎ 解得：b∈[﹣1，1]；‎ ‎（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，‎ 即且两个等号不同时成立，‎ 即a＜1，b≤|a﹣1|‎ ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）‎ ‎（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；‎ ‎（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？‎ ‎【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．‎ ‎【专题】综合题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．‎ ‎（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，‎ 因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，‎ 所以x=＜＜1，‎ 所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，‎ 所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．‎ 所以f（x）min=f（1）=a﹣c，‎ 因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，‎ 所以a﹣c＞c2﹣2c+a，‎ 所以0＜c＜1；‎ ‎（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．‎ 若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，‎ 所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．‎ 故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；‎ 若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，‎ 故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．‎ ‎　‎ ‎19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：‎ 在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x0+1）≤f（x0）f（1）成立；‎ ‎（1）请给出一个x0的值，使函数；‎ ‎（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x0组成的集合；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）设函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】元素与集合关系的判断．‎ ‎【专题】应用题；新定义；函数思想．‎ ‎【分析】（1）取值带入即可；‎ ‎（2）根据函数f（x）的定义求解x0即可；‎ ‎（3）利用函数的思想求解．‎ ‎【解答】解：（1）令x0=2，则，成立；‎ ‎（2）假设函数f（x）=x2﹣x﹣2是集合M中的元素，则存在x0，使 f（x0+1）≤f（x0）f（1）成立，‎ 即（x0+1）2﹣（x0+1）﹣2≤（）（﹣2），‎ 解得：，‎ 故x0组成的集合是：{x0|}；‎ ‎（3）∵函数f（x）=，‎ ‎∴，‎ 设g（x）==，‎ ‎∴0＜g（x）＜3，2‎ a=0时显然成立，‎ 当a＞0时，a＞g（x），∴a＞3；‎ a＜0时，a＜g（x），∴a＜0；‎ 综上，a≤0或a＞3‎ ‎【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题 ‎　‎