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- 2021-06-21 发布
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一 第三课时 参数方程和普通方程的互化
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.参数方程为(0≤t≤5)的曲线为( )
A.线段 B.双曲线的一支
C.圆弧 D.射线
解析:化为普通方程为x=3(y+1)+2,
即x-3y-5=0,
由于x=3t2+2∈[2,77],
故曲线为线段.故选A.
答案:A
2.参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A.直线 B.圆
C.线段 D.射线
解析:x=cos2θ∈[0,1], y=sin2θ∈[0,1],∴x+y=1,(x∈[0,1])为线段.
答案:C
3.直线y=2x+1的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析:由y=2x+1知x,y可取全体实数,故排除A、D,在B、C中消去参数t,知C正确.
答案:C
4.下列各组方程中,表示同一曲线的是( )
A.与xy=1
B.(θ为参数)与(θ为参数)
C.(θ为参数且a≠0)与y=x
D.(a>0,b>0,θ为参数且0≤θ<π)与+=1
解析:A中前者x>0,y>0,后者x,y∈R,xy≠0;C中前者x∈[-|a|,|a|],y∈[-|b|,|b|],后者无此要求;D中若0≤θ<2π,则二者相同.
答案:B
5.参数方程(t为参数且t∈R)代表的曲线是( )
A.直线 B.射线
5
C.椭圆 D.双曲线
解析:∵x=2t+21-t=2-t(22t+2),y=2t-1+2-t=2-t(22t-1+1)=×2-t(22t+2),∴y=x,且
x≥2,y≥,故方程表示的是一条射线.
答案:B
6.方程(t是参数)的普通方程是________,与x轴交点的直角坐标是________.
解析:由y=t2-1,得t2=y+1,
代入x=3t2+2,可得x-3y-5=0,
又x=3t2+2,所以x≥2,
当y=0时,t2=1,x=3t2+2=5,
所以与x轴交点的坐标是(5,0).
答案:x-3y-5=0(x≥2) (5,0)
7.设y=tx(t为参数),则圆x2+y2-4y=0的参数方程是________.
解析:把y=tx代入x2+y2-4y=0,
得x=,y=,
所以参数方程为(t为参数).
答案:(t为参数)
8.将参数方程(θ为参数),转化为普通方程是________________,该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值为________.
解析:易得直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径,易求得为-1.
答案:(x-1)2+y2=1 -1
9.化普通方程x2+y2-2x=0为参数方程.
解析:曲线过(0,0)点,可选择(0,0)为定点,可设过这个定点的直线为y=kx,选择直线的斜率k为参数,不同的k值,对应着不同的点(异于原点),
所以
故(1+k2)x2-2x=0,得x=0或x=.
将x=代入y=kx中,得y=.
所以(k为参数)是原曲线的参数方程.
10.参数方程(θ为参数)表示什么曲线?
5
解析:显然=tan θ,则+1=,cos2θ=,
x=cos2θ+sin θcos θ=sin 2θ+cos2θ=×+cos2θ,即x=×+,
x=+1,得x+=,即x2+y2-x-y=0.该参数方程表示圆.
[B组 能力提升]
1.参数方程(t为参数)表示的图形为( )
A.直线 B.圆
C.线段(但不包括右端点) D.椭圆
解析:从x=中解得t2=,代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),表示一条线段,但不包括右端点.
答案:C
2.参数方程(t为参数)表示的曲线( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
解析:方程⇒
⇒
它表示以点和点为端点的线段,故关于x轴对称.
答案:A
3.已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为________.
解析:将两曲线的参数方程化为一般方程分别为+y2=1(0≤y≤1,-<x≤ )和y2=x,联立解得交点坐标为.
答案:
5
4.若直线l1:(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,则k=________.
解析:直线l1化为普通方程是y-2=-(x-1),该直线的斜率为-.
直线l2化为普通方程是y=-2x+1,该直线的斜率为-2,
则由两直线垂直的充要条件,得·(-2)=-1,即k=-1.
答案:-1
5.已知方程y2-6ysin θ-2x-9cos2 θ+8cos θ+9=0(0≤θ<2π).
(1)试证:不论θ如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;
(2)θ为何值时,该抛物线在直线x=14上截得的弦最长,并求出此弦长.
解析:(1)证明:方程y2-6ysin θ-2x-9cos2θ+8cos θ+9=0可配方为(y-3sin θ)2=2(x-4cos θ),
∴图象为抛物线.
设其顶点为(x,y),则有
消去θ,得顶点轨迹是椭圆+=1.
∴不论θ如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆+=1上的抛物线.
(2)联立
消去x,得y2-6ysin θ+9sin2θ+8cos θ-28=0,
弦长|AB|=|y1-y2|=4 ,
当cos θ=-1即θ=π时,弦长最长为12.
6.水库排放的水流从溢流坝下泄时,通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用,以保护水坝的坝基.如图是运用鼻坝进行挑流的示意图.已知水库的水位与鼻坝的落差为9 m,鼻坝的鼻坎角为30°,鼻坝下游的基底比鼻坝低18 m.求挑出水流的轨迹方程,并计算挑出的水流与坝基的水平距离.
解析:建立如图所示的直角坐标系.
设轨迹上任意一点为P(x,y).
由机械能守恒定律,得mv2=mgh.
鼻坝出口处的水流速度为v==.
取时间t为参数,则有x=vtcos 30°=t,
y=vtsin 30°-gt2=t-gt2,
5
所以,挑出水流的轨迹的参数方程为
(t为参数),
消去参数t,得y=-x2+x.
取y=-18,得-x2+x=-18,
解得x==18或x==-9(舍去).
挑出的水流与坝基的水平距离为
x=18≈31.2(m).
挑出水流的轨迹方程为
y=-x2+x,x∈[0,18 ].
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