2020高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题强化训练 新人教A版选修2-1 7页

第三章 空间向量与立体几何 专题强化训练(三)‎ ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．如图38，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是(　　)‎ 图38‎ A．＋＋＋＝0‎ B．＋＋＋＝0‎ C．＋＋＋＝0‎ D．－＋＋＝0‎ B　[＋＝＋＝，＋＝，易证四边形EFGH为平行四边形，故＋＝0，故选B．]‎ ‎2．已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，则当(p－a)·(p－b)取得最小值时，向量p的坐标为(　　)‎ A．　　 B． C． D． C　[设p＝λc，则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)，所以(p－a)·(p－b)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2，所以当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，此时p＝λc＝，故选C．]‎ ‎3．已知平面α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：‎ 7‎ ‎①若n1∥n2，则α∥β；‎ ‎②若n1∥n2，则α⊥β；‎ ‎③若n1·n2＝0，则α⊥β；‎ ‎④若n1·n2＝0，则α∥β.‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ A　[由平面的法向量的定义知，①③正确．]‎ ‎4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)‎ A．　 　B． C．　 　D． B　[y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.]‎ ‎5．如图39，已知E是正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱BC的中点，设α为二面角D1AED的平面角，则cos α＝(　　) ‎ ‎【导学号：46342186】‎ 图39‎ A．　 B．　　　C．　　　D． A　[以A为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，令正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以＝(2,1,0)，＝(0,2,2)，设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．又＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，α为二面角D1AED 7‎ 的平面角，所以cos α＝＝，故选A．]‎ 二、填空题 ‎6．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y＝________.‎ ‎1或－3　[由a＝(2,4，x)且|a|＝6，得6＝，x＝±4，由a⊥b，得4＋4y＋2x＝0，得或，则x＋y＝1或－3.]‎ ‎7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．‎ 　[设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，＝(1,3, )，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.]‎ ‎8．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________. ‎ ‎【导学号：46342187】‎ 　[设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0)．因为BH⊥OA，所以·＝0，即－x＋y－1＝0　①，又点H在直线OA上，所以＝λ，即　②，联立①②解得 所以点H的坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9．如图310，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B‎1F∥平面A1BE？证明你的结论．‎ 图310‎ ‎[解]　在棱C1D1上存在点F，当F为C1D1的中点时，B‎1F∥平面A1BE.证明如下：‎ 7‎ 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴＝(－2,2,1)，＝(－2,0,2)．‎ 设平面A1BE的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则m·＝－2x＋2y＋z＝0，且m·＝－2x＋2z＝0，取x＝1，则z＝1，y＝，‎ ‎∴m＝是平面A1BE的一个法向量．‎ 假设在棱C1D1上存在一点F，使B‎1F∥平面A1BE，‎ 设F(x0,2,2)(0≤x0≤2)，则＝(x0－2,2,0)，‎ 则m·＝x0－2＋×2＋1×0＝0，解得x0＝1，‎ ‎∴当F为C1D1的中点时，B‎1F∥平面A1BE.‎ ‎10．如图311，正三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．‎ 图311‎ ‎(1)求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小. ‎ ‎【导学号：46342188】‎ ‎[解]　(1)取BC的中点O，连接AO.‎ ‎∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．‎ ‎∵在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴AO⊥平面BCC1B1.‎ 取B‎1C1的中点O1，以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z 7‎ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．‎ ‎∴＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)．‎ ‎∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝－1＋4－3＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，∴AB1⊥平面A1BD．‎ ‎(2)设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎∵＝(－1,1，－)，＝(0,2,0)，‎ ‎∴，即，‎ 令z＝1，得n＝(－，0,1)为平面A1AD的一个法向量．‎ 由(1)知AB1⊥平面A1BD，∴为平面A1BD的一个法向量．‎ cos〈n，〉＝＝＝－，‎ ‎∴二面角AA1DB的余弦值为.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)‎ A．(2,3,3)　　　　 B．(－2，－3，－3)‎ C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)‎ B　[取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则＝＝，＝＝， 所以＝－＝(－2，－3，－3)，故选B．]‎ ‎2．如图312，正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是(　　)‎ 7‎ 图312‎ A．30°　　　 B．45°‎ C．60° D．75°‎ A　[如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(‎2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，所以〈，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.]‎ ‎3．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________. ‎ ‎【导学号：46342189】‎ ‎1　[因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(‎2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则，解得.]‎ ‎4．已知平面α经过点A(0,0,2)，且平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是________．‎ ‎(－2,0,0)　[设交点为M(x,0,0), 则＝(x,0，－2)，平面α的一个法向量n＝(1，－1，－1)，则n·＝0，解得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2,0,0)．]‎ ‎5．如图313，在三棱锥ABCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是等边三角形．‎ 图313‎ 7‎ ‎(1)求证：AD⊥BC．‎ ‎(2)在线段AC上是否存在一点E，使直线ED与平面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)作AH⊥平面BCD于点H，连接BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，且AH＝1.‎ 以D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图．‎ 则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，‎ ‎∴＝(－1,1,0)，＝(1,1,1)，‎ ‎∴·＝0，则AD⊥BC．‎ ‎(2)存在满足条件的点E，点E到点C的距离为1.‎ 设E(x，y，z)，则x＝z>0，y＝1.‎ 又平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，＝(x,1，x)，若ED与平面BCD的夹角为30°，则与n的夹角为60°，‎ ‎∴cos〈，n〉＝＝＝cos 60°＝，‎ 则2x＝，解得x＝或x＝－(舍去)，即E.‎ 又||＝1，故线段AC上存在满足条件的点E，点E到点C的距离为1.‎ 7‎