山东省滨州市、淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 答案 12页

www.gkstk.com 淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.在复平面内，复数满足，则对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若为第一象限角，且，则的值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量，且。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（参考数据：若，有 ‎，，） （ ）‎ A． 0.9772 B．0.6826 C. 0.9974 D．0.9544‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）‎ A． 3 B． 4 C. 5 D．6‎ ‎8. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知点，点的坐标满足条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎10. 已知，则使成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知直线过定点，线段是圆：的直径，则（ ）‎ A． 5 B．6 C. 7 D．8‎ ‎12.已知函数在处取得最大值，则下列结论中正确的序号为：①；②；③；④；⑤ （ ）‎ A． ①④ B．②④ C. ②⑤ D．③⑤‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.二项式的展开式中，的系数为 ．‎ ‎14.设函数，给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的一个零点为；④在单调递减，其中正确结论有 （填写所有正确结论的编号）．‎ ‎15.已知正四棱锥，其底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积是 ．‎ ‎16.已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是公差为3的等差数列，数列满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎18.直角三角形中，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面．‎ ‎（1）当时，证明：平面；‎ ‎（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？‎ ‎（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望．‎ 附：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交直线于点．‎ ‎（1）证明：三点共线；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎21. 设函数（其中）．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，讨论函数的零点个数．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程是（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线与曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的取值范围．‎ ‎23. 【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．（1）解不等式；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABDBC 6-10: ACABD 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 80 14. ①②③ 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由已知且，得，‎ 所以是首项为4，公差为3的等差数列，‎ 通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，得：，，因此是首项为、公比为的等比数列，则．‎ ‎18.证明：‎ ‎（1）在中，，即，则，‎ 取的中点，连接交于，当时，是的中点，‎ 而是的中点，所以是的中位线，‎ 所以，‎ 在中，是的中点，所以是的中点，‎ 在中，，‎ 所以，则，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以．‎ 而，所以平面；‎ ‎（2）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，‎ 由（1）知是的中点，，又平面平面，‎ 所以平面，则，‎ 假设存在满足题意的，则由，‎ 可得，‎ 则，设平面的一个法向量为，‎ 则即，‎ 令，可得，即，‎ 所以与平面所成的角的正弦值，‎ 解得或3（舍去），‎ 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为．‎ ‎19.解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：‎ 男 女 总计 喜欢阅读古典文学 ‎64‎ ‎36‎ ‎100‎ 不喜欢阅读古典文学 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ 总计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 所以的观测值，‎ 因为的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；‎ ‎（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表人，女代表人，则，‎ 根据已知条件可得，；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 所以的分布列是：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 所以．‎ ‎20．解证：（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，‎ 设所在直线为：，且．‎ 联立方程组：，得：；‎ 其中，‎ 点的坐标为所在直线方程为：．‎ 所在的直线方程为：，‎ 联立方程组：，得点的坐标为，‎ 点的坐标满足直线的方程，故三点共线；‎ ‎（2）由（1）得：；‎ 由点的坐标为，，‎ 所以，‎ 显然，‎ 故当，即时，取得最大值．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，，‎ ‎①当时，令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，‎ ‎②当时，令，解得或，‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减，‎ ‎③当时，，在上单调递增，‎ ‎④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2），①当时，由（1）知，当时，，此时无零点，‎ 当时，，‎ 又在上单调递增，所以在上有唯一的零点，‎ 故函数在定义域上有唯一的零点，‎ ‎②当时，由（1）知，当时，，此时无零点；‎ 当时，，，‎ 令，则，‎ 因为在上单调递增，，‎ 所以在上单调递增，得，即，所以在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．‎ 综全①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点．‎ ‎22.解：（1）由，得直线极坐标方程：，‎ 曲线的参数方程为（为参数），消去参数得曲线的普通方程为，即，‎ 将代入上式得，‎ 所以曲线的极坐标方程为；‎ ‎（2）设，则，所以 ‎，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以，故的取值范围是．‎ ‎23.解：（1），原不等式等价于：或或，‎ 解得：，或，或，‎ 综上所述，不等式解集是：；‎ ‎（2）恒成立等价于．‎ 因为，所以的最大值为；‎ 时，；时，；时，，‎ 所以，所以由原不等式恒成立，得：，解得：或．‎ ‎ ‎